09年高考数学压轴题_09高考数学

1.2009年高考数学全国一卷难度

2.09高考上海数学卷到底“难”在哪

3.求09年数学全国二卷答案

4.谁有09年福建省理科高考数学卷的选择题及答案。

数学 难度比去年小，拿高分不容易

填空简单，最后大题“绕”人

“填空题，我十分钟就做完了。”人民中学考点外，梅园中学一个男生兴奋地说。他告诉记者，整张试卷总体感觉不是太难，他的后面大题第一问都做出来了，不过最后两大题的第二问都不会。“比如倒数第二大题关于‘满意度’的函数问题，光是题目就有200字左右，看完就有点晕，都绕进去了，所以就放弃了。但是‘保’基本分难度不大。”南外的理科考生张同学认为试卷前面部分难度适中，但最后40分的附加题有些难度，出现了时间不够用的情况。总体而言，考题整体难度比去年小，填空题较简单，但最后两题有些“翘尾巴”。考生普遍认为基本分拿到不难，但要拿高分着实不易。

名师点评

加大数学应用题考查力度

点评人：淮安中学特级教师 杨文举

09年高考数学试题从整体看，体现“总体稳定，深化能力”的特点，在保持08年特点的同时，又力争创新与变化；试卷不仅能注意对基础知识的考查，更注重了对能力的考查。从考生的反映来看，试题总体难度“没有想象的难”，尤其是最后一道大题，也能入手。试题有较好的梯度，注重认识能力和数学应用能力的考查，稳中求新。

一、试卷结构稳定，题型顺序有变。今年的数学试题无论是正卷还是附加卷，都与08年的试题在题量上、题型上仍保持一致，但今年将应用题放在第19题，而把数列题放在第17题，这是事先老师们没有想到的。将数列题前移并降低难度，我认为很合理，避免了学生花很多时间学习数列而难得分的现象。

二、试题强调了知识间的内在联系，注意从学科的整体高度出发，注重各部分知识的综合性、相互联系及在各自发展过程中各部分知识间的纵向联系，不靠一题把关，而是多题体现能力要求。第15题考查平面向量与三角知识的结合，题目设置了三问，注重考查运算能力，应该说对学生提出不同层次的要求；第16题考查正三棱柱中的线面平行与垂直问题，考查空间想象能力，较为常规；第17题考查数列，其中第2问体现代数认证的能力要求；第18题解析几何则考查了探索能力；与往年不同，今年最后一题考查含参数及绝对值函数，考查分类讨论的思想方法，学生还是能够入手的，当然有学生反映“入手易深究难”。

三、突出“双基”考查，强化数学思想。从内容来看，填空题中对于新增内容考查也较为全面，如复数，概率，统计，算法语言，推理方法等都有考查；解答题突出对主干知识的重点考查，六道大题仍然考的是函数、数列、三角函数、立体几何、解析几何及数学应用题等重点知识。在数学思想方法上则考查了函数与方程的思想、数形结合思想、分类讨论思想、化归转化思想等，试题考查了更高层次上的抽象和概括，蕴涵在数学知识发生、发展和应用的过程中，注意通性通法，淡化特殊技巧，有效地检测考生对中学数学知识中所蕴涵的数学思想和方法的掌握程度。

四、加大数学应用题考查力度。今年高考数学题的一个很大的变化是将数学应用题放到了第五道大题(第19题)的位置，考查的应用题变量均以字母形式出现，提高了应用题的难度，这也是广大考生不太适应的，说明今年的高考试卷在知识与能力考查的同时，体现了对课改新理念的创新与发展，实际上是考查学生数学建模的能力，即既考查从数学的角度观察、思考和分析实际问题的能力，又考查相关知识和技能的理解和掌握程度，从而能比较好地反映考生对信息的接收、加工和输出能力，达到有效考查综合素质的目的。

五、正卷相对较易，附加卷试题偏难。相对于08年，今年的正卷160分相对较易一点，而今年附加卷没有考查空间向量，其中第22题第（3）问和第23题，学生得分比较困难。

改变了过去一题或两题把关的习惯

点评人：江苏省泰州中学 宋健

2009年高考数学试题，在保持稳定的基础上，进行适度的改革和创新，贴近教学实际，体现了新课程的基本理念与要求。坚持能力立意，从多个角度、多个层次全面检测考生的数学素养和理性思维。试卷主要有以下几个方面的特点：

1.题型稳定，突出对基本知识的考查。全卷结构、题型包括难度都基本稳定，只是将数列题前移到第17题。试卷依据考试说明，突出对教材基本内容的考查。整卷试题的坡度较好地实现了由易到难，低起点、入口宽、逐步深入的格局。填空题比较平和，不需太繁的计算，考生应该感觉顺手。许多试题源于课本，略高于课本，如第1、2、3、4、5、7、11、15题等，都由课本例题、习题进行恰当变更、迁移、综合、创新整合而成，给人以似曾相识的感觉。最后6个解答题由易到难，涉及的知识内容基础、常规，入手容易，但深入有一定困难。附加题部分，选做题对知识点的考查单一，结论要求明确，学生入手较易。两道必做题对数学语言的转化以及数学思想方法有一定的要求，相对较难。

2.多题把关，有很好的区分度。第17，18题第二小问，第19题、第20题的第三问有一定的难度，改变了过去一题或两题把关的习惯，更能有效区分不同能力层次的考生群体，有利于高校选拔人才。

3．深化能力立意，知识与能力并重。全卷在考查知识的同时，注重考查学生的数学基本能力。许多试题实际上并不难，知识点熟悉，但需要考生自主综合知识，才能解决问题，如第17题第二问，其实是恒成立问题。许多试题若能先想清楚找到合适的解题思路和方向后再动手，则解答会较容易，否则会陷入繁琐的运算之中，比如第13题，第14题。

4.关注联系，有效考查数学思想方法。试卷以朴素的数学知识为载体，综合考查最基本的数学思想和方法，体现了高考命题重实质、重内涵的指导思想，注重通性通法、淡化特殊技巧，对中学数学教学有较好的导向作用。不少试题注意在具体的情景中、在解决问题的过程中突出考查学生数学思想和数学方法。如第20题以二次函数为载体，重点考查分类谈论、数形结合思想。

5. 加强应用意识，体现"学数学、用数学"的基本思想。应用问题考查在模式识别后落脚到数学方法的运用上。第19题以生活中的满意度为背景，问题的表述较长，需要考生耐心读懂题目。但模式识别方便，考查学生将文字语言转化为数学语言的能力。

6.注重探究，创新意识增强。部分题目在考查基础知识点上有所创新，题目设计灵活。如数学卷第17题第（2）问，第18题第（2）问，都是对一个问题进行纵向探究，考查学生创新意识

2009年高考数学全国一卷难度

把前面的式子写成2的（X-1)次幂等于5/2

-X,后面式子写成以2为底（X-1）的对数等于5/2

-X。2的（X-1)次幂与以2为底（X-1）的对数形成超越方程，这两个方程的图像关于Y=X-1对称，Y=5/2-X的斜率为-1，Y=X-1的斜率为1，两直线垂直，所以Y=5/2-X与Y=2的（X-1)次幂及Y=以2为底（X-1）的对数的图像的交点的中点坐标为Y=X-1与Y=5/2-X的交点坐标，设为（X,Y),所以X1+X2=2X,即可求得

09高考上海数学卷到底“难”在哪

0.55-0.62之间。

考试中心发言人曾公布高考全国I卷数学的难度系数控制在0.55-0.62之间，就是说考后成绩的平均分在150分的55%～62%之间，其中09年的0.56，10年的是0.57，11年的是0.59。

求09年数学全国二卷答案

学生反应：一致喊“难”

考完数学，不少学生显得情绪有些低落。一些学生，尤其是理科生直呼：“今年数学卷怎么这么难！”部分市重点中学平日数学成绩还不错的学生说：“基础题难度加大了，做起来时间紧巴巴的。”

不少学生找老师倾诉：“题目分数和题量都变了，我都来不及做了”；“怎么都是新面孔？我有点措手不及”；“模拟题的填空题都是12题，这次突然变成14题了，而且思路很怪，影响我的情绪”……某中学的老师反映，今年喊“难”的学生似乎比往年多。因为数学是在高考首日考的，为了安抚学生情绪，老师们不断给学生发短信，说些“你觉得难，其他人也难”之类的鼓励话语。

有些家长也摸不清头脑，“孩子中午回家还是一脸笑容，下午回家脸色都变了，我也不敢多问，数学到底考什么了？”

也有一些数学老师在网上评价：“这次理科数学卷，基础部分的难度提高，前两年基础部分抓牢可以得105分左右，今年保守估计大概得80多分”；“今年的数学卷，对拔尖学生来说也许略有影响，但对普通中学的学生影响可能比较大。”

教师反应之一：难在“变化”多

一些中学数学教师认为，今年的题目难在“变化”多。

首先，试卷结构变化大。前些年高考数学题型和数量已成定势，11或12道填空题，4道选择题，6道解答题。这次高考，填空题14道，选择题4道，解答题5道。

其次，今年是二期课改全面铺开后的第一年高考，新教材增加了许多内容。理科卷对算法、矩阵、行列式、向量、概率统计等内容进行考查，且有较高要求。

此外，题目“新面孔”多，对学生数学思维能力的要求也高。不少题目呈现的方式与传统题目不同，要回归为基本数学问题对能力的要求高；有些题给出了

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谁有09年福建省理科高考数学卷的选择题及答案。

2009年全国高考理科数学试题及答案（全国卷Ⅱ）

一选择题：

1. A.

2. B.

3. D.

4.B.

5.C

6. C

7.A.

8. D

9. D

10. C

11. A

12.B

第II卷（非选择题，共90分）

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。把答案填在答题卡上。

13. 6

14. 9 .

15. 8

16.

三、解答题：本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤

17（本小题满分10分）

设 的内角 、 、 的对边长分别为 、 、 ， ， ，求 。

分析：由 ，易想到先将 代入 得 。然后利用两角和与差的余弦公式展开得 ；又由 ，利用正弦定理进行边角互化，得 ，进而得 .故 。大部分考生做到这里忽略了检验，事实上，当 时，由 ，进而得 ，矛盾，应舍去。

也可利用若 则 从而舍去 。不过这种方法学生不易想到。

评析：本小题考生得分易，但得满分难。

18（本小题满分12分）

如图，直三棱柱 中， 、 分别为 、 的中点， 平面

（I）证明：

（II）设二面角 为60°，求 与平面 所成的角的大小。

（I）分析一：连结BE， 为直三棱柱，

为 的中点， 。又 平面 ，

（射影相等的两条斜线段相等）而 平面 ，

（相等的斜线段的射影相等）。

分析二：取 的中点 ，证四边形 为平行四边形，进而证 ∥ ， ，得 也可。

分析三：利用空间向量的方法。具体解法略。

（II）分析一：求 与平面 所成的线面角，只需求点 到面 的距离即可。

作 于 ，连 ，则 ， 为二面角 的平面角， .不妨设 ，则 .在 中，由 ，易得 .

设点 到面 的距离为 ， 与平面 所成的角为 。利用 ，可求得 ，又可求得

即 与平面 所成的角为

分析二：作出 与平面 所成的角再行求解。如图可证得 ，所以面 。由分析一易知：四边形 为正方形，连 ，并设交点为 ，则 ， 为 在面 内的射影。 。以下略。

分析三：利用空间向量的方法求出面 的法向量 ，则 与平面 所成的角即为 与法向量 的夹角的余角。具体解法详见高考试题参考答案。

总之在目前，立体几何中的两种主要的处理方法：传统方法与向量的方法仍处于各自半壁江山的状况。命题人在这里一定会兼顾双方的利益。

19（本小题满分12分）

设数列 的前 项和为 已知

（I）设 ，证明数列 是等比数列

（II）求数列 的通项公式。

解：（I）由 及 ，有

由 ，．．．①则当 时，有 ．．．．．②

②－①得

又 ， 是首项 ，公比为2的等比数列．

（II）由（I）可得 ，

　 数列 是首项为 ，公差为 的等比数列．

　 ，

评析：第（I）问思路明确，只需利用已知条件寻找 ．

第（II）问中由（I）易得 ，这个递推式明显是一个构造新数列的模型： ，主要的处理手段是两边除以 ．

总体来说，09年高考理科数学全国I、Ⅱ这两套试题都将数列题前置,主要考查构造新数列（全国I还考查了利用错位相减法求前n项和的方法），一改往年的将数列结合不等式放缩法问题作为押轴题的命题模式。具有让考生和一线教师重视教材和基础知识、基本方法基本技能,重视两纲的导向作用。也可看出命题人在有意识降低难度和求变的良苦用心。

20（本小题满分12分）

某车间甲组有10名工人，其中有4名女工人；乙组有5名工人，其中有3名女工人，现采用分层抽样方法（层内采用不放回简单随机抽样）从甲、乙两组中共抽取3名工人进行技术考核。

（I）求从甲、乙两组各抽取的人数；

（II）求从甲组抽取的工人中恰有1名女工人的概率；

（III）记 表示抽取的3名工人中男工人数，求 的分布列及数学期望。

分析：（I）这一问较简单，关键是把握题意，理解分层抽样的原理即可。另外要注意此分层抽样与性别无关。

（II）在第一问的基础上，这一问处理起来也并不困难。

从甲组抽取的工人中恰有1名女工人的概率

（III） 的可能取值为0，1，2，3

， ，

，

分布列及期望略。

评析：本题较常规，比08年的概率统计题要容易。在计算 时，采用分类的方法，用直接法也可，但较繁琐，考生应增强灵活变通的能力。

（21）（本小题满分12分）

已知椭圆 的离心率为 ，过右焦点F的直线 与 相交于 、 两点，当 的斜率为1时，坐标原点 到 的距离为

（I）求 ， 的值；

（II） 上是否存在点P，使得当 绕F转到某一位置时，有 成立？

若存在，求出所有的P的坐标与 的方程；若不存在，说明理由。

解:(I）设 ，直线 ，由坐标原点 到 的距离为

则 ，解得 .又 .

（II）由(I）知椭圆的方程为 .设 、

由题意知 的斜率为一定不为0，故不妨设

代入椭圆的方程中整理得 ，显然 。

由韦达定理有： ．．．．．．．．①

.假设存在点P，使 成立，则其充要条件为：

点 ，点P在椭圆上，即 。

整理得 。

又 在椭圆上，即 .

故 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．②

将 及①代入②解得

, = ,即 .

当 ;

当 .

评析：处理解析几何题，学生主要是在“算”上的功夫不够。所谓“算”，主要讲的是算理和算法。算法是解决问题采用的计算的方法,而算理是采用这种算法的依据和原因,一个是表,一个是里,一个是现象,一个是本质。有时候算理和算法并不是截然区分的。例如：三角形的面积是用底乘高的一半还是用两边与夹角的正弦的一半，还是分割成几部分来算？在具体处理的时候，要根据具体问题及题意边做边调整，寻找合适的突破口和切入点。

22.(本小题满分12分)

设函数 有两个极值点 ，且

（I）求 的取值范围，并讨论 的单调性；

（II）证明：

解: （I）

令 ，其对称轴为 。由题意知 是方程 的两个均大于 的不相等的实根，其充要条件为 ，得

⑴当 时， 在 内为增函数；

⑵当 时， 在 内为减函数；

⑶当 时， 在 内为增函数；

（II）由（I） ，

设 ，

则

⑴当 时， 在 单调递增；

⑵当 时， ， 在 单调递减。

有些特殊符号在这打不出来 给个邮箱我吧 我发给你

2009年普通高等学校招生全国统一考试（福建卷）

数学（理工农医类）

一. 选择题：本小题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1. 函数 最小值是

A．-1 B. C. D.1

1．答案：B

[解析]∵ ∴ .故选B

2.已知全集U=R，集合 ，则 等于

A． { x ∣0 x 2} B { x ∣0<x<2}

C． { x ∣x<0或x>2} D { x ∣x 0或x 2}

2．答案：A

[解析]∵计算可得 或 ∴ .故选A

3.等差数列 的前n项和为 ，且 =6， =4， 则公差d等于

A．1 B C.- 2 D 3

3．答案：C

[解析]∵ 且 .故选C

4. 等于

A． B. 2 C. -2 D. +2

4．答案：D

[解析]∵ .故选D

5.下列函数 中，满足“对任意 ， （0， ），当 < 时，都有 >

的是

A． = B. = C . = D

5．答案：A

[解析]依题意可得函数应在 上单调递减，故由选项可得A正确。

6.阅读右图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果是w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

A．2 B .4 C. 8 D .16

6．答案：C

[解析]由算法程序图可知，在n =4前均执行”否”命令，故n=2×4=8. 故选C

7.设m，n是平面 内的两条不同直线， ， 是平面 内的两条相交直线，则 // 的一个充分而不必要条件是w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

A.m // 且l // B. m // l 且n // l

C. m // 且n // D. m // 且n // l

7．答案：B

[解析]若 ，则可得 .若 则存在

8.已知某运动员每次投篮命中的概率都为40%。现采用随机模拟的方法估计该运动

员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算器算出0到9之间取整数值的随机数，

指定1，2，3，4表示命中，5，6，，7，8，9，0表示不命中；再以每三个随机数为一组，代表三次投篮的结果。经随机模拟产生了20组随机数：

907 966 191 925 271 932 812 458 569 683

431 257 393 027 556 488 730 113 537 989

据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为

A．0.35 B 0.25 C 0.20 D 0.15

8．答案：B

[解析]由随机数可估算出每次投篮命中的概率 则三次投篮命中两次为 0.25故选B

9.设a，b，c为同一平面内具有相同起点的任意三个非零向量，且满足a与b不共线，

a c ∣a∣=∣c∣,则∣b ? c∣的值一定等于w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

A． 以a，b为两边的三角形面积 B 以b，c为两边的三角形面积

C．以a，b为邻边的平行四边形的面积 D 以b，c为邻边的平行四边形的面积

9．答案：C

[解析]依题意可得 故选C.

10.函数 的图象关于直线 对称。据此可推测，对任意的非零实数a，b，c，m，n，p，关于x的方程 的解集都不可能是

A. B C D

10. 答案：D

[解析]本题用特例法解决简洁快速，对方程 中 分别赋值求出 代入 求出检验即得.

第二卷 （非选择题共100分）

二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分。把答案填在答题卡的相应位置。

11.若 （i为虚数单位， ）则 _________ w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

11. 答案：2

解析：由 ，所以 故 。

12．某校开展“爱我海西、爱我家乡”摄影比赛，9位评委为参赛作品A给出的分数如茎叶图所示。记分员在去掉一个最高分和一个最低分后，算的平均分为91，复核员在复核时，发现有一个数字（茎叶图中的x）无法看清。若记分员计算无误，则数字 应该是___________

12. 答案：1

解析：观察茎叶图，

可知有 。

13.过抛物线 的焦点F作倾斜角为 的直线交抛物线于A、B两点，若线段AB的长为8，则 ________________ w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

13. 答案：2

解析：由题意可知过焦点的直线方程为 ，联立有 ，又 。

14.若曲线 存在垂直于 轴的切线，则实数 取值范围是_____________.

14. 答案：

解析：由题意可知 ，又因为存在垂直于 轴的切线，

所以 。

15.五位同学围成一圈依序循环报数，规定：

①第一位同学首次报出的数为1，第二位同学首次报出的数也为1，之后每位同学所报出的数都是前两位同学所报出的数之和；

②若报出的数为3的倍数，则报该数的同学需拍手一次

已知甲同学第一个报数，当五位同学依序循环报到第100个数时，甲同学拍手的总次数为________.

15. 答案：5

解析：由题意可设第 次报数，第 次报数，第 次报数分别为 ， ， ，所以有 ，又 由此可得在报到第100个数时，甲同学拍手5次。

三解答题w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

16.（13分）

从集合 的所有非空子集中，等可能地取出一个。

（1） 记性质r：集合中的所有元素之和为10，求所取出的非空子集满足性质r的概率；

（2） 记所取出的非空子集的元素个数为 ，求 的分布列和数学期望E

16、解：（1）记”所取出的非空子集满足性质r”为事件A

基本事件总数n= =31

事件A包含的基本事件是{1,4,5}、{2，3，5}、{1，2，3，4}

事件A包含的基本事件数m=3

所以

（II）依题意， 的所有可能取值为1，2，3，4，5

又 ， ，

，

故 的分布列为：

1 2 3 4 5

P

从而E +2 +3 +4 +5

17（13分）

如图，四边形ABCD是边长为1的正方形， ，

，且MD=NB=1，E为BC的中点

（1） 求异面直线NE与AM所成角的余弦值

（2） 在线段AN上是否存在点S，使得ES 平面AMN？若存在，求线段AS的长；若不存在，请说明理由w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

17.解析：（1）在如图，以D为坐标原点，建立空间直角坐标

依题意，得 。

，

所以异面直线 与 所成角的余弦值为 .A

（2）假设在线段 上存在点 ，使得 平面 .

,

可设

又 .

由 平面 ，得 即

故 ，此时 .

经检验，当 时， 平面 .

故线段 上存在点 ，使得 平面 ，此时 .

18、（本小题满分13分）

如图，某市拟在长为8km的道路OP的一侧修建一条运动

赛道，赛道的前一部分为曲线段OSM，该曲线段为函数

y=Asin x(A>0, >0) x [0,4]的图象，且图象的最高点为

S(3，2 )；赛道的后一部分为折线段MNP，为保证参赛

运动员的安全，限定 MNP=120

（I）求A , 的值和M，P两点间的距离；

（II）应如何设计，才能使折线段赛道MNP最长？ w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

18.本小题主要考查三角函数的图象与性质、解三角形等基础知识，考查运算求解能力以及应用数学知识分析和解决实际问题的能力，考查化归与转化思想、数形结合思想，

解法一

（Ⅰ）依题意，有 ， ，又 ， 。

当 是，

又

（Ⅱ）在△MNP中∠MNP=120°，MP=5，

设∠PMN= ，则0°< <60°

由正弦定理得

,

故

0°< <60°， 当 =30°时，折线段赛道MNP最长

亦即，将∠PMN设计为30°时，折线段道MNP最长

解法二：

（Ⅰ）同解法一

（Ⅱ）在△MNP中，∠MNP=120°，MP=5，

由余弦定理得 ∠MNP=

即

故

从而 ，即

当且仅当 时，折线段道MNP最长

注：本题第（Ⅱ）问答案及其呈现方式均不唯一，除了解法一、解法二给出的两种设计方式，还可以设计为：① ；② ；③点N在线段MP的垂直平分线上等

19、（本小题满分13分）

已知A,B 分别为曲线C： + =1（y 0,a>0）与x轴

的左、右两个交点，直线 过点B,且与 轴垂直，S为 上

异于点B的一点，连结AS交曲线C于点T.

(1)若曲线C为半圆，点T为圆弧 的三等分点，试求出点S的坐标；

（II）如图，点M是以SB为直径的圆与线段TB的交点，试问：是否存在 ,使得O,M,S三点共线？若存在，求出a的值，若不存在，请说明理由。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

19.解析

解法一：

(Ⅰ)当曲线C为半圆时， 如图，由点T为圆弧 的三等分点得∠BOT=60°或120°.

(1)当∠BOT=60°时, ∠SAE=30°.

又AB=2,故在△SAE中,有

(2)当∠BOT=120°时,同理可求得点S的坐标为 ,综上,

(Ⅱ)假设存在 ,使得O,M,S三点共线.

由于点M在以SB为直线的圆上,故 .

显然,直线AS的斜率k存在且k>0,可设直线AS的方程为 .

由

设点

故 ,从而 .

亦即

由 得

由 ,可得 即

经检验,当 时,O,M,S三点共线. 故存在 ,使得O,M,S三点共线.

解法二:

(Ⅰ)同解法一.

(Ⅱ)假设存在a,使得O,M,S三点共线.

由于点M在以SO为直径的圆上,故 .

显然,直线AS的斜率k存在且K>0,可设直线AS的方程为

由

设点 ,则有

故

由 所直线SM的方程为

O,S,M三点共线当且仅当O在直线SM上,即 .

故存在 ,使得O,M,S三点共线.

20、（本小题满分14分）

已知函数 ,且 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

(1) 试用含 的代数式表示b,并求 的单调区间；

（2）令 ,设函数 在 处取得极值，记点M ( , )，N( , )，P( ), ,请仔细观察曲线 在点P处的切线与线段MP的位置变化趋势，并解释以下问题：

（I）若对任意的m ( , x )，线段MP与曲线f(x)均有异于M,P的公共点，试确定t的最小值，并证明你的结论；

（II）若存在点Q(n ,f(n)), x n< m,使得线段PQ与曲线f(x)有异于P、Q的公共点，请直接写出m的取值范围（不必给出求解过程）w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

20.解法一:

(Ⅰ)依题意,得

由 .

从而

令

①当a>1时,

当x变化时， 与 的变化情况如下表：

x

+ － +

单调递增 单调递减 单调递增

由此得，函数 的单调增区间为 和 ，单调减区间为 。

②当 时， 此时有 恒成立，且仅在 处 ，故函数 的单调增区间为R

③当 时， 同理可得，函数 的单调增区间为 和 ，单调减区间为

综上：

当 时，函数 的单调增区间为 和 ，单调减区间为 ；

当 时，函数 的单调增区间为R；

当 时，函数 的单调增区间为 和 ，单调减区间为 .

(Ⅱ)由 得 令 得

由（1）得 增区间为 和 ，单调减区间为 ，所以函数 在处 取得极值，故M（ ）N（ ）。

观察 的图象，有如下现象：

①当m从-1（不含-1）变化到3时，线段MP的斜率与曲线 在点P处切线的斜率 之差Kmp- 的值由正连续变为负。

②线段MP与曲线是否有异于H，P的公共点与Kmp－ 的m正负有着密切的关联；

③Kmp－ =0对应的位置可能是临界点，故推测：满足Kmp－ 的m就是所求的t最小值，下面给出证明并确定的t最小值.曲线 在点 处的切线斜率 ；

线段MP的斜率Kmp

当Kmp－ =0时，解得

直线MP的方程为

令

当 时， 在 上只有一个零点 ，可判断 函数在 上单调递增，在 上单调递减，又 ，所以 在 上没有零点，即线段MP与曲线 没有异于M，P的公共点。

当 时， .

所以存在 使得

即当 MP与曲线 有异于M,P的公共点

综上，t的最小值为2.

（2）类似（1）于中的观察，可得m的取值范围为

解法二：

（1）同解法一.

（2）由 得 ，令 ，得

由（1）得的 单调增区间为 和 ，单调减区间为 ，所以函数在处取得极值。故M( ).N( )

(Ⅰ) 直线MP的方程为

由

得

线段MP与曲线 有异于M,P的公共点等价于上述方程在(－1,m)上有根,即函数

上有零点.

因为函数 为三次函数,所以 至多有三个零点,两个极值点.

又 .因此, 在 上有零点等价于 在 内恰有一个极大值点和一个极小值点,即 内有两不相等的实数根.

等价于 即

又因为 ,所以m 的取值范围为(2,3)

从而满足题设条件的r的最小值为2.

21、本题（1）、（2）、（3）三个选答题，每小题7分，请考生任选2题作答，满分14分，如果多做，则按所做的前两题计分。作答时，先用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中，

（1）（本小题满分7分）选修4-4：矩阵与变换w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

已知矩阵M 所对应的线性变换把点A(x,y)变成点A ‘(13,5),试求M的逆矩阵及点A的坐标

（2）（本小题满分7分）选修4-4：坐标系与参数方程

已知直线l:3x+4y-12=0与圆C: ( 为参数 )试判断他们的公共点个数

（3）（本小题满分7分）选修4-5：不等式选讲

解不等式∣2x-1∣<∣x∣+1

21.

(1)解:依题意得

由 得 ,故

从而由 得

故 为所求.

(2)解:圆的方程可化为 .

其圆心为 ,半径为2.

(3)解:当x<0时,原不等式可化为

又 不存在;

当 时,原不等式可化为

又

当

综上,原不等式的解集为