2016高考圆锥曲线,历年圆锥曲线高考题

1.圆锥曲线定点定值问题方法总结

2.高考数学中圆锥曲线的经典例子？

3.高中数学圆锥曲线有哪些难点？

4.圆锥曲线总结

5.高考数学常用的圆锥曲线结论有哪些

6.高考圆锥曲线

7.高中数学易错点及数学圆锥曲线公式大全

圆锥曲线和导数在高考试题中占的分数都差不多。

圆锥曲线：小题+大题，选择题和填空题必有一道，大题一道。导数和这个模式一样选择填空和简答题。圆锥曲线和导数占的分数都是20分左右。其中大题有解析几何，圆锥曲线，导数问题，函数，概率，数列。

圆锥曲线定点定值问题方法总结

圆锥曲线是解析几何的重要内容之一，也是高考重点考查的内容和热点，知识综合性较强，对学生逻辑思维能力计算能力等要求很高，这些问题重点考查学生方程思想、函数思想、转化与化归思想的应用．定值问题与定点问题是这类题目的典型代表，为了提高同学们解题效率，特别是高考备考效率，本文列举了一些典型的定点和定值问题，以起到抛砖引乇的作用．

求解直线和曲线过定点问题的基本解题模板是：把直线或曲线方程中的变量 ， 当作常数看待，把方程一端化为零，既然是过定点，那么这个方程就要对任意参数都成立，这时参数的系数就要全部等于零，这样就得到一个关于 ， 的方程组，这个方程组的解所确定的点就是直线或曲线所过的定点，或者可以通过特例探求，再用一般化方法证明．

例1已知椭圆 的左右焦点分别为 ， ，椭圆 过点 ，直线

交 轴于 ，且 ， 为坐标原点．

（1）求椭圆 的方程；

（2）设 是椭圆 上的顶点，过点 分别作出直 ， 线交椭圆于 ， 两点，设这两条直线的斜率

分别为 ， ，且 ，证明：直线 过定点．

解析

（1） ，

， ，

， ，即

（2）设 方程为 代入椭圆方程

， ，

，

，

代入 得：

所以， 直线必过 ．

总结求曲线方程主要方法是方程的思想，将向量的条件转化为垂直.直线和圆锥曲线的位置关系一方面要体现方程思想，另一方面要结合已知条件，从图形角度求解．联立直线与圆锥曲线的方程得到方程组，化为一元二次方程后由根与系数的关系求解是一个常用的方法. 涉及弦长的问题中，应熟练地利用根与系数关系、设而不求法计算弦长；涉及垂直关系时也往往利用根与系数关系、设而不求法简化运算；涉及过焦点的弦的问题，可考虑用圆锥曲线的定义求解．

解析几何中的定值问题是指某些几何量(线段的长度、图形的面积、角的度数、直线的斜率等)的大小或某些代数表达式的值等和题目中的参数无关，不依参数的变化而变化，而始终是一个确定的值，求定值问题常见的解题模板有两种：

①从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；

②直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．

例2已知抛物线 ，直线 与 交于 ， 两点，且 ，其中 为坐标原点.

（1）求抛物线 的方程；

（2）已知点 的坐标为 ，记直线 、 的斜率分别为 ， ，证明： 为定值.

解析

（1）解：设 ， ，

联立方程组 ，

消元得 ，

所以 ， .

又 ，

所以 ，从而 .

(2)因为 ，

所以 ，

因此

又 ， ，

所以 .

即 为定值.

高考数学中圆锥曲线的经典例子？

圆锥曲线中的定点、定值问题是高考中的常考题型，难度较大，考查知识间的联系与综合，并且此类题一般计算量都较大，费时费力难以攻破，令很多学生望而生畏. 本文给出此类问题的求解方法，希望对同学们学习有所帮助.

圆锥曲线中的定点、定值问题求解有两大方法，即参数法和由特殊到一般的方法.

圆锥曲线的定点、定值问题会涉及到曲线上的动点及动直线，所以很常用的方法就是设动点或设动直线，即引入参数解决问题，那么设参数就有两种情况，第一种是设点的坐标，第二种是设直线的斜率.

用参数法解决定点和定值问题时，对参数的处理是不同的.

高中数学圆锥曲线有哪些难点？

椭圆标准方程典型例题

例1 已知椭圆 的一个焦点为（0，2）求 的值．

分析：把椭圆的方程化为标准方程，由 ，根据关系 可求出 的值．

解：方程变形为 ．因为焦点在 轴上，所以 ，解得 ．

又 ，所以 ， 适合．故 ．

例2 已知椭圆的中心在原点，且经过点 ， ，求椭圆的标准方程．

分析：因椭圆的中心在原点，故其标准方程有两种情况．根据题设条件，运用待定系数法，

求出参数 和 （或 和 ）的值，即可求得椭圆的标准方程．

解：当焦点在 轴上时，设其方程为 ．

由椭圆过点 ，知 ．又 ，代入得 ， ，故椭圆的方程为 ．

当焦点在 轴上时，设其方程为 ．

由椭圆过点 ，知 ．又 ，联立解得 ， ，故椭圆的方程为 ．

例3 的底边 ， 和 两边上中线长之和为30，求此三角形重心 的轨迹和顶点 的轨迹．

分析：（1）由已知可得 ，再利用椭圆定义求解．

（2）由 的轨迹方程 、 坐标的关系，利用代入法求 的轨迹方程．

解： （1）以 所在的直线为 轴， 中点为原点建立直角坐标系．设 点坐标为 ，由 ，知 点的轨迹是以 、 为焦点的椭圆，且除去轴上两点．因 ， ，有 ，

故其方程为 ．

（2）设 ， ，则 ． ①

由题意有 代入①，得 的轨迹方程为 ，其轨迹是椭圆（除去 轴上两点）．

例4 已知 点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点 到两焦点的距离分别为 和 ，过 点作焦点所在轴的垂线，它恰好过椭圆的一个焦点，求椭圆方程．

解：设两焦点为 、 ，且 ， ．从椭圆定义知 ．即 ．

从 知 垂直焦点所在的对称轴，所以在 中， ，

可求出 ， ，从而 ．

∴所求椭圆方程为 或 ．

例5 已知椭圆方程 ，长轴端点为 ， ，焦点为 ， ， 是椭圆上一点， ， ．求： 的面积（用 、 、 表示）．

分析：求面积要结合余弦定理及定义求角 的两邻边，从而利用 求面积．

解：如图，设 ，由椭圆的对称性，不妨设 ，由椭圆的对称性，不妨设 在第一象限．由余弦定理知： ? ．①

由椭圆定义知： ②，则 得 ．

故 ．

例6 已知动圆 过定点 ，且在定圆 的内部与其相内切，求动圆圆心 的轨迹方程．

分析：关键是根据题意，列出点P满足的关系式．

解：如图所示，设动圆 和定圆 内切于点 ．动点 到两定点，

即定点 和定圆圆心 距离之和恰好等于定圆半径，

即 ．∴点 的轨迹是以 ， 为两焦点，

半长轴为4，半短轴长为 的椭圆的方程： ．

说明：本题是先根据椭圆的定义，判定轨迹是椭圆，然后根据椭圆的标准方程，求轨迹的方程．这是求轨迹方程的一种重要思想方法．

例7 已知椭圆 ，（1）求过点 且被 平分的弦所在直线的方程；

（2）求斜率为2的平行弦的中点轨迹方程；

（3）过 引椭圆的割线，求截得的弦的中点的轨迹方程；

（4）椭圆上有两点 、 ， 为原点，且有直线 、 斜率满足 ，

求线段 中点 的轨迹方程．

分析：此题中四问都跟弦中点有关，因此可考虑设弦端坐标的方法．

解：设弦两端点分别为 ， ，线段 的中点 ，则

①－②得 ．

由题意知 ，则上式两端同除以 ，有 ，

将③④代入得 ．⑤

（1）将 ， 代入⑤，得 ，故所求直线方程为： ． ⑥

将⑥代入椭圆方程 得 ， 符合题意， 为所求．

（2）将 代入⑤得所求轨迹方程为： ．（椭圆内部分）

（3）将 代入⑤得所求轨迹方程为： ．（椭圆内部分）

（4）由①＋②得 ： ， ⑦， 将③④平方并整理得

， ⑧， ， ⑨

将⑧⑨代入⑦得： ， ⑩

再将 代入⑩式得： ， 即 ．

此即为所求轨迹方程．当然，此题除了设弦端坐标的方法，还可用其它方法解决．

例8 已知椭圆 及直线 ．

（1）当 为何值时，直线与椭圆有公共点？

（2）若直线被椭圆截得的弦长为 ，求直线的方程．

解：（1）把直线方程 代入椭圆方程 得 ，

即 ． ，解得 ．

（2）设直线与椭圆的两个交点的横坐标为 ， ，由（1）得 ， ．

根据弦长公式得 ： ．解得 ．方程为 ．

说明：处理有关直线与椭圆的位置关系问题及有关弦长问题，采用的方法与处理直线和圆的有所区别．

这里解决直线与椭圆的交点问题，一般考虑判别式 ；解决弦长问题，一般应用弦长公式．

用弦长公式，若能合理运用韦达定理（即根与系数的关系），可大大简化运算过程．

例9 以椭圆 的焦点为焦点，过直线 上一点 作椭圆，要使所作椭圆的长轴最短，点 应在何处？并求出此时的椭圆方程．

分析：椭圆的焦点容易求出，按照椭圆的定义，本题实际上就是要在已知直线上找一点，使该点到直线同侧的两已知点（即两焦点）的距离之和最小，只须利用对称就可解决．

解：如图所示，椭圆 的焦点为 ， ．

点 关于直线 的对称点 的坐标为（－9，6），直线 的方程为 ．

解方程组 得交点 的坐标为（－5，4）．此时 最小．

所求椭圆的长轴： ，∴ ，又 ，

∴ ．因此，所求椭圆的方程为 ．

例10 已知方程 表示椭圆，求 的取值范围．

解：由 得 ，且 ．

∴满足条件的 的取值范围是 ，且 ．

说明：本题易出现如下错解：由 得 ，故 的取值范围是 ．

出错的原因是没有注意椭圆的标准方程中 这个条件，当 时，并不表示椭圆．

例11 已知 表示焦点在 轴上的椭圆，求 的取值范围．

分析：依据已知条件确定 的三角函数的大小关系．再根据三角函数的单调性，求出 的取值范围．

解：方程可化为 ．因为焦点在 轴上，所以 ．

因此 且 从而 ．

说明：(1)由椭圆的标准方程知 ， ，这是容易忽视的地方．

(2)由焦点在 轴上，知 ， ． (3)求 的取值范围时，应注意题目中的条件 ．

例12　求中心在原点，对称轴为坐标轴，且经过 和 两点的椭圆方程．

分析：由题设条件焦点在哪个轴上不明确，椭圆标准方程有两种情形，为了计算简便起见，

可设其方程为 ( ， )，且不必去考虑焦点在哪个坐标轴上，直接可求出方程．

解：设所求椭圆方程为 ( ， )．由 和 两点在椭圆上可得

即 所以 ， ．故所求的椭圆方程为 ．

例13 知圆 ，从这个圆上任意一点 向 轴作垂线段，求线段中点 的轨迹．

分析：本题是已知一些轨迹，求动点轨迹问题．这种题目一般利用中间变量(相关点)求轨迹方程或轨迹．

解：设点 的坐标为 ，点 的坐标为 ，则 ， ．

因为 在圆 上，所以 ．

将 ， 代入方程 得 ．所以点 的轨迹是一个椭圆 ．

说明：此题是利用相关点法求轨迹方程的方法，这种方法具体做法如下：首先设动点的坐标为 ，

设已知轨迹上的点的坐标为 ，然后根据题目要求，使 ， 与 ， 建立等式关系，

从而由这些等式关系求出 和 代入已知的轨迹方程，就可以求出关于 ， 的方程，

化简后即我们所求的方程．这种方法是求轨迹方程的最基本的方法，必须掌握．

例14 已知长轴为12，短轴长为6，焦点在 轴上的椭圆，过它对的左焦点 作倾斜解为 的直线交椭圆于 ， 两点，求弦 的长．

分析：可以利用弦长公式 求得，

也可以利用椭圆定义及余弦定理，还可以利用焦点半径来求．

解：(法1)利用直线与椭圆相交的弦长公式求解．

．因为 ， ，所以 ．因为焦点在 轴上，

所以椭圆方程为 ，左焦点 ，从而直线方程为 ．

由直线方程与椭圆方程联立得： ．设 ， 为方程两根，所以 ， ， ， 从而 ．

(法2)利用椭圆的定义及余弦定理求解．

由题意可知椭圆方程为 ，设 ， ，则 ， ．

在 中， ，即 ；

所以 ．同理在 中，用余弦定理得 ，所以 ．

(法3)利用焦半径求解．

先根据直线与椭圆联立的方程 求出方程的两根 ， ，它们分别是 ， 的横坐标．

再根据焦半径 ， ，从而求出 ．

例15　椭圆 上的点 到焦点 的距离为2， 为 的中点，则 （ 为坐标原点）的值为A．4　　　B．2　 C．8　 D．

解：如图所示，设椭圆的另一个焦点为 ，由椭圆第一定义得 ，所以 ，

又因为 为 的中位线，所以 ，故答案为A．

说明：(1)椭圆定义：平面内与两定点的距离之和等于常数（大于 ）的点的轨迹叫做椭圆．

(2)椭圆上的点必定适合椭圆的这一定义，即 ，利用这个等式可以解决椭圆上的点与焦点的有关距离．

例16 已知椭圆 ，试确定 的取值范围，使得对于直线 ，椭圆 上有不同的两点关于该直线对称．

分析：若设椭圆上 ， 两点关于直线 对称，则已知条件等价于：(1)直线 ；(2)弦 的中点 在 上．

利用上述条件建立 的不等式即可求得 的取值范围．

解：(法1)设椭圆上 ， 两点关于直线 对称，直线 与 交于 点．

∵ 的斜率 ，∴设直线 的方程为 ．由方程组 消去 得

　①。∴ ．于是 ， ，

即点 的坐标为 ．∵点 在直线 上，∴ ．解得 ．　②

将式②代入式①得　③

∵ ， 是椭圆上的两点，∴ ．解得 ．

(法2)同解法1得出 ，∴ ，

，即 点坐标为 ．

∵ ， 为椭圆上的两点，∴ 点在椭圆的内部，∴ ．解得 ．

(法3)设 ， 是椭圆上关于 对称的两点，直线 与 的交点 的坐标为 ．

∵ ， 在椭圆上，∴ ， ．两式相减得 ，

即 ．∴ ．

又∵直线 ，∴ ，∴ ，即①。

又 点在直线 上，∴　②。由①，②得 点的坐标为 ．以下同解法2.

说明：涉及椭圆上两点 ， 关于直线 恒对称，求有关参数的取值范围问题，可以采用列参数满足的不等式：

(1)利用直线 与椭圆恒有两个交点，通过直线方程与椭圆方程组成的方程组，消元后得到的一元二次方程的判别式 ，建立参数方程．

(2)利用弦 的中点 在椭圆内部，满足 ，将 ， 利用参数表示，建立参数不等式．

例17 在面积为1的 中， ， ，建立适当的坐标系，求出以 、 为焦点且过 点的椭圆方程．

解：以 的中点为原点， 所在直线为 轴建立直角坐标系，设 ．

则 ∴ 即 ∴ 得

∴所求椭圆方程为

例18 已知 是直线 被椭圆 所截得的线段的中点，求直线 的方程．

分析：本题考查直线与椭圆的位置关系问题．通常将直线方程与椭圆方程联立消去 (或 )，得到关于 (或 )的一元二次方程，再由根与系数的关系，直接求出 ， (或 ， )的值代入计算即得．

并不需要求出直线与椭圆的交点坐标，这种“设而不求”的方法，在解析几何中是经常采用的．

解：方法一：设所求直线方程为 ．代入椭圆方程，整理得

①

设直线与椭圆的交点为 ， ，则 、 是①的两根，∴

∵ 为 中点，∴ ， ．∴所求直线方程为 ．

方法二：设直线与椭圆交点 ， ．∵ 为 中点，∴ ， ．

又∵ ， 在椭圆上，∴ ， 两式相减得 ，

即 ．∴ ．∴直线方程为 ．

方法三：设所求直线与椭圆的一个交点为 ，另一个交点 ．

∵ 、 在椭圆上，∴　①。　　②

从而 ， 在方程①－②的图形 上，而过 、 的直线只有一条，∴直线方程为 ．

说明：直线与圆锥曲线的位置关系是重点考查的解析几何问题，“设而不求”的方法是处理此类问题的有效方法．

若已知焦点是 、 的椭圆截直线 所得弦中点的横坐标是4，则如何求椭圆方程？

圆锥曲线总结

高中数学圆锥曲线是高中数学中的一个重要知识点，也是高考中的重点和难点之一。以下是一些常见的难点：

1.概念理解：圆锥曲线的定义和性质是学习圆锥曲线的基础，但很多学生对于这些概念的理解不够深入，容易混淆。例如，椭圆、双曲线和抛物线的定义和特点需要学生掌握清楚。

2.方程求解：圆锥曲线的方程通常比较复杂，涉及到二次方程、三次方程等高次方程的求解。学生在求解过程中容易出现错误，特别是在消元和化简过程中。

3.图形绘制：圆锥曲线的图形绘制是一个比较困难的任务，需要学生掌握一定的几何知识和技巧。特别是对于双曲线和抛物线，由于其特殊的对称性和形状，绘制起来更加复杂。

4.参数方程：圆锥曲线的参数方程是另一个难点，需要学生理解参数的意义和作用，并能够将参数方程转化为普通方程进行求解。

5.应用问题：圆锥曲线在实际生活中的应用非常广泛，例如在物理、工程等领域都有重要的应用。学生需要能够将圆锥曲线的知识应用到实际问题中，解决实际问题。

总之，高中数学圆锥曲线是一个综合性较强的知识点，需要学生具备扎实的数学基础和良好的逻辑思维能力。在学习过程中，学生需要注重理解和掌握基本概念，多进行练习和思考，提高解题能力和应用能力。

高考数学常用的圆锥曲线结论有哪些

难点25 圆锥曲线综合题

圆锥曲线的综合问题包括：解析法的应用，与圆锥曲线有关的定值问题、最值问题、参数问题、应用题和探索性问题，圆锥曲线知识的纵向联系，圆锥曲线知识和三角、复数等代数知识的横向联系，解答这部分试题，需要较强的代数运算能力和图形认识能力，要能准确地进行数与形的语言转换和运算，推理转换，并在运算过程中注意思维的严密性，以保证结果的完整.

●难点磁场

(★★★★)若椭圆 =1(a＞b＞0)与直线l：x+y=1在第一象限内有两个不同的交点，求a、b所满足的条件，并画出点P(a,b)的存在区域.

●案例探究

〔例1〕已知圆k过定点A(a,0)(a＞0),圆心k在抛物线C：y2=2ax上运动，MN为圆k在y轴上截得的弦.

(1)试问MN的长是否随圆心k的运动而变化？

(2)当|OA|是|OM|与|ON|的等差中项时，抛物线C的准线与圆k有怎样的位置关系？

命题意图：本题考查圆锥曲线科内综合的知识及学生综合、灵活处理问题的能力，属

★★★★★级题目.

知识依托：弦长公式，韦达定理，等差中项，绝对值不等式，一元二次不等式等知识.

错解分析：在判断d与R的关系时，x0的范围是学生容易忽略的.

技巧与方法：对第(2)问，需将目标转化为判断d=x0+ 与R= 的大小.

解：(1)设圆心k(x0,y0),且y02=2ax0,

圆k的半径R=|AK|=

∴|MN|=2 =2a(定值)

∴弦MN的长不随圆心k的运动而变化.

(2)设M(0,y1)、N(0,y2)在圆k：(x－x0)2+(y－y0)2=x02+a2中，

令x=0，得y2－2y0y+y02－a2=0

∴y1y2=y02－a2

∵|OA|是|OM|与|ON|的等差中项.

∴|OM|+|ON|=|y1|+|y2|=2|OA|=2a.

又|MN|=|y1－y2|=2a

∴|y1|+|y2|=|y1－y2|

∴y1y2≤0，因此y02－a2≤0,即2ax0－a2≤0.

∴0≤x0≤ .

圆心k到抛物线准线距离d=x0+ ≤a,而圆k半径R= ≥a.

且上两式不能同时取等号，故圆k必与准线相交.

〔例2〕如图，已知椭圆 =1(2≤m≤5),过其左焦点且斜率为1的直线与椭圆及其准线的交点从左到右的顺序为A、B、C、D，设f(m)=||AB|－|CD||

(1)求f(m)的解析式；

(2)求f(m)的最值.

命题意图：本题主要考查利用解析几何的知识建立函数关系式，并求其最值，体现了圆锥曲线与代数间的科间综合.属★★★★★级题目.

知识依托：直线与圆锥曲线的交点，韦达定理，根的判别式，利用单调性求函数的最值.

错解分析：在第(1)问中，要注意验证当2≤m≤5时，直线与椭圆恒有交点.

技巧与方法：第(1)问中，若注意到xA,xD为一对相反数，则可迅速将||AB|－|CD||化简.第(2)问，利用函数的单调性求最值是常用方法.

解：(1)设椭圆的半长轴、半短轴及半焦距依次为a、b、c，则a2=m,b2=m－1,c2=a2－b2=1

∴椭圆的焦点为F1(－1,0),F2(1,0).

故直线的方程为y=x+1,又椭圆的准线方程为x=± ,即x=±m.

∴A(－m,－m+1),D(m,m+1)

考虑方程组 ,消去y得：(m－1)x2+m(x+1)2=m(m－1)

整理得：(2m－1)x2+2mx+2m－m2=0

Δ=4m2－4(2m－1)(2m－m2)=8m(m－1)2

∵2≤m≤5,∴Δ＞0恒成立，xB+xC= .

又∵A、B、C、D都在直线y=x+1上

∴|AB|=|xB－xA|= =(xB－xA)． ,|CD|= (xD－xC)

∴||AB|－|CD||= |xB－xA+xD－xC|= |(xB+xC)－(xA+xD)|

又∵xA=－m,xD=m,∴xA+xD=0

∴||AB|－|CD||=|xB+xC|． =| |． = (2≤m≤5)

故f(m)= ，m∈〔2,5〕.

(2)由f(m)= ，可知f(m)=

又2－ ≤2－ ≤2－

∴f(m)∈〔 〕

故f(m)的最大值为 ，此时m=2;f(m)的最小值为 ，此时m=5.

〔例3〕舰A在舰B的正东6千米处，舰C在舰B的北偏西30°且与B相距4千米，它们准备捕海洋动物，某时刻A发现动物信号，4秒后B、C同时发现这种信号，A发射麻醉炮弹.设舰与动物均为静止的，动物信号的传播速度为1千米/秒，炮弹的速度是 千米/秒，其中g为重力加速度，若不计空气阻力与舰高，问舰A发弹的方位角和仰角应是多少？

命题意图：考查圆锥曲线在实际问题中的应用，及将实际问题转化成数学问题的能力，属★★★★★级题目.

知识依托：线段垂直平分线的性质，双曲线的定义，两点间的距离公式，斜抛运动的曲线方程.

错解分析：答好本题，除要准确地把握好点P的位置(既在线段BC的垂直平分线上，又在以A、B为焦点的抛物线上)，还应对方位角的概念掌握清楚.

技巧与方法：通过建立恰当的直角坐标系，将实际问题转化成解析几何问题来求解.对空间物体的定位，一般可利用声音传播的时间差来建立方程.

解：取AB所在直线为x轴，以AB的中点为原点，建立如图所示的直角坐标系.由题意可知，A、B、C舰的坐标为(3，0)、(－3，0)、(－5，2 ).

由于B、C同时发现动物信号，记动物所在位置为P，则|PB|=|PC|.于是P在线段BC的中垂线上，易求得其方程为 x－3y+7 =0.

又由A、B两舰发现动物信号的时间差为4秒，知|PB|－|PA|=4，故知P在双曲线 =1的右支上.

直线与双曲线的交点为(8，5 )，此即为动物P的位置，利用两点间距离公式，可得|PA|=10.

据已知两点的斜率公式，得kPA= ,所以直线PA的倾斜角为60°,于是舰A发弹的方位角应是北偏东30°.

设发弹的仰角是θ，初速度v0= ，则 ,

∴sin2θ= ,∴仰角θ=30°.

●锦囊妙计

解决圆锥曲线综合题，关键是熟练掌握每一种圆锥曲线的定义、标准方程、图形与几何性质，注意挖掘知识的内在联系及其规律，通过对知识的重新组合，以达到巩固知识、提高能力的目的.

(1)对于求曲线方程中参数的取值范围问题，需构造参数满足的不等式，通过求不等式(组)求得参数的取值范围；或建立关于参数的目标函数，转化为函数的值域.

(2)对于圆锥曲线的最值问题，解法常有两种：当题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义，可考虑利用数形结合法解；当题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可先建立目标函数，再求这个函数的最值.

●歼灭难点训练

一、选择题

1.(★★★★)已知A、B、C三点在曲线y= 上，其横坐标依次为1，m,4(1＜m＜4)，当△ABC的面积最大时，m等于( )

A.3 B. C. D.

2.(★★★★★)设u,v∈R，且|u|≤ ,v＞0,则(u－v)2+( )2的最小值为( )

A.4 B.2 C.8 D.2

二、填空题

3.(★★★★★)A是椭圆长轴的一个端点，O是椭圆的中心，若椭圆上存在一点P，使

∠OPA= ,则椭圆离心率的范围是_________.

4.(★★★★)一辆卡车高3米，宽1.6米，欲通过抛物线形隧道，拱口宽恰好是抛物线的通径长，若拱口宽为a米，则能使卡车通过的a的最小整数值是_________.

5.(★★★★★)已知抛物线y=x2－1上一定点B(－1，0)和两个动点P、Q，当P在抛物线上运动时，BP⊥PQ，则Q点的横坐标的取值范围是_________.

三、解答题

6.(★★★★★)已知直线y=kx－1与双曲线x2－y2=1的左支交于A、B两点，若另一条直线l经过点P(－2，0)及线段AB的中点Q，求直线l在y轴上的截距b的取值范围.

7.(★★★★★)已知抛物线C：y2=4x.

(1)若椭圆左焦点及相应的准线与抛物线C的焦点F及准线l分别重合，试求椭圆短轴端点B与焦点F连线中点P的轨迹方程；

(2)若M(m,0)是x轴上的一定点，Q是(1)所求轨迹上任一点，试问|MQ|有无最小值？若有，求出其值；若没有，说明理由.

8.(★★★★★)如图， 为半圆，AB为半圆直径，O为半圆圆心，且OD⊥AB，Q为线段OD的中点，已知|AB|=4，曲线C过Q点，动点P在曲线C上运动且保持|PA|+|PB|的值不变.

(1)建立适当的平面直角坐标系，求曲线C的方程；

(2)过D点的直线l与曲线C相交于不同的两点M、N，且M在D、N之间，设 =λ，求λ的取值范围.

〔学法指导〕怎样学好圆锥曲线

圆锥曲线将几何与代数进行了完美结合.借助纯代数的解决手段研究曲线的概念和性质及直线与圆锥曲线的位置关系，从数学家笛卡尔开创了坐标系那天就已经开始.

高考中它依然是重点，主客观题必不可少，易、中、难题皆有.为此需要我们做到：

1.重点掌握椭圆、双曲线、抛物线的定义和性质.这些都是圆锥曲线的基石，高考中的题目都涉及到这些内容.

2.重视求曲线的方程或曲线的轨迹，此处作为高考解答题的命题对象难度较大.所以要掌握住一般方法：定义法、直接法、待定系数法、相关点法、参数法等.

3.加强直线与圆锥曲线的位置关系问题的复习.此处一直为高考的热点.这类问题常涉及到圆锥曲线的性质和直线的基本知识点、线段的中点、弦长、垂直问题，因此分析问题时利用数形结合思想和设而不求法与弦长公式及韦达定理联系去解决.这样加强了对数学各种能力的考查.

4.重视对数学思想、方法进行归纳提炼，达到优化解题思维、简化解题过程.

(1)方程思想

解析几何的题目大部分都以方程形式给定直线和圆锥曲线，因此把直线与圆锥曲线相交的弦长问题利用韦达定理进行整体处理，就简化解题运算量.

(2)用好函数思想方法

对于圆锥曲线上的一些动点，在变化过程中会引入一些相互联系、相互制约的量，从而使一些线的长度及a,b,c,e之间构成函数关系，函数思想在处理这类问题时就很有效.

(3)掌握坐标法

坐标法是解决有关圆锥曲线问题的基本方法.近几年都考查了坐标法，因此要加强坐标法的训练.

参考答案

难点磁场

解：由方程组 消去y,整理得(a2+b2)x2－2a2x+a2(1－b2)=0 ①

则椭圆与直线l在第一象限内有两个不同的交点的充要条件是方程①在区间(0，1）内有两相异实根，令f(x)=(a2+b2)x2－2a2x+a2(1－b2),则有

同时满足上述四个条件的点P(a,b)的存在区域为下图所示的阴影部分：

歼灭难点训练

一、1.解析：由题意知A(1，1)，B(m, ),C(4,2).

直线AC所在方程为x－3y+2=0,

点B到该直线的距离为d= .

∵m∈(1,4),∴当 时，S△ABC有最大值，此时m= .

答案：B

2.解析：考虑式子的几何意义，转化为求圆x2+y2=2上的点与双曲线xy=9上的点的距离的最小值.

答案：C

二、3.解析：设椭圆方程为 =1(a＞b＞0),以OA为直径的圆：x2－ax+y2=0,两式联立消y得 x2－ax+b2=0.即e2x2－ax+b2=0,该方程有一解x2,一解为a,由韦达定理x2= －a,0＜x2＜a，即0＜ －a＜a ＜e＜1.

答案： ＜e＜1

4.解析：由题意可设抛物线方程为x2=－ay,当x= 时，y=－ ；当x=0.8时，y=－ .由题意知 ≥3,即a2－12a－2.56≥0.解得a的最小整数为13.

答案：13

5.解析：设P(t,t2－1)，Q(s,s2－1)

∵BP⊥PQ,∴ =－1,

即t2+(s－1)t－s+1=0

∵t∈R,∴必须有Δ=(s－1)2+4(s－1)≥0.即s2+2s－3≥0,

解得s≤－3或s≥1.

答案：(－∞,－3 ∪ 1,+∞)

三、6.解：设A(x1,y1）,B(x2,y2).

由 ,得(1－k2）x2+2kx－2=0,

又∵直线AB与双曲线左支交于A、B两点，

故有

解得－ ＜k＜－1

7.解：由抛物线y2=4x,得焦点F(1,0),准线l：x=－1.

(1)设P(x,y)，则B(2x－1,2y),椭圆中心O′,则|FO′|∶|BF|=e,又设点B到l的距离为d,则|BF|∶d=e,∴|FO′|∶|BF|=|BF|∶d,即(2x－2)2+(2y)2=2x(2x－2),化简得P点轨迹方程为y2=x－1(x＞1).

(2)设Q(x,y),则|MQ|=

(ⅰ)当m－ ≤1,即m≤ 时，函数t=[x－(m－ )2]+m－ 在(1，+∞)上递增，故t无最小值，亦即|MQ|无最小值.

(ⅱ)当m－ ＞1,即m＞ 时，函数t=[x2－(m－ )2]+m－ 在x=m－ 处有最小值m－ ,∴|MQ|min= .

8.解：(1)以AB、OD所在直线分别为x轴、y轴，O为原点，建立平面直角坐标系，

∵|PA|+|PB|=|QA|+|QB|=2 ＞|AB|=4.

∴曲线C为以原点为中心，A、B为焦点的椭圆.

设其长半轴为a,短半轴为b,半焦距为c,则2a=2 ,∴a= ,c=2,b=1.

∴曲线C的方程为 +y2=1.

(2)设直线l的方程为y=kx+2,

代入 +y2=1,得(1+5k2)x2+20kx+15=0.

Δ=(20k)2－4×15(1+5k2)＞0,得k2＞ .由图可知 =λ

由韦达定理得

将x1=λx2代入得

两式相除得

①

M在D、N中间，∴λ＜1 ②

又∵当k不存在时，显然λ= (此时直线l与y轴重合).

高考圆锥曲线

⒈若一个圆c1内含于另一个圆c2，则与大圆内切与小圆外切的圆的圆心的轨迹为一

椭圆，两圆的圆心为焦点，其长轴长为两圆半径之和；

⒉在一个圆内有一点，则过该点且与已知圆相切的圆的圆心的点的轨迹为一椭圆，且其长

轴长为已知圆的半径。

⒊过两点的两条直线的斜率之积为一负常数m的点的轨迹为一椭圆（两点除外）。两定点为

椭圆的顶点，两定点间的距离为长轴长。（-1<m<0时，焦点在x轴上；当m<-1时，焦点

在y轴上）

例：过点（-8，0），（8，0）的两直线11，12的斜率之积为-3/8，求其交点的轨迹。⒋将圆的横坐标（或纵坐标）拉伸或缩短为原来的m倍，该圆变成椭圆；

⒌连接圆内一定点与圆上任一点的线段的垂直平分线与圆上该点到圆心的连线的交点的轨迹

为一椭圆。方椭圆的长半轴与圆的半径长相等；

⒍两个同心圆较大圆上任一点与圆心的连线与小圆交于一点，从大圆上该点作x轴的垂线，

则过小圆交点向该垂线作垂线，其垂足的点的轨迹为椭圆。

一、椭圆： （1）椭圆的定义：平面内与两个定点f1,f2的距离的和等于常数（大于|其中：两个定点叫做椭圆的焦点，焦点间的距离叫做焦距。

二、双曲线 ：平面上与两点距离的差的绝对值为非零常数的动点轨迹是双曲线。

三、抛物线： 平面内与一定点fl的距离相等的点的轨迹叫做抛物线(定点f不在定直线l上)。

四、方程的曲线： 在平面直角坐标系中，如果某曲线c(看作适合某种条件的点的集合或轨迹)上的点与一个二元方程f(x,y)=0的实数解建立了如下的关系：(1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解；(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点，那么这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线。

高中数学易错点及数学圆锥曲线公式大全

圆锥曲线定义的应用

规律与方法：

1、圆锥曲线的定义是相应标准方程和几何性质的“源”，对于圆锥曲线的有关问题，要有运用圆锥曲线定义解题的意识，“回归定义”是一种重要的解题策略．

2、研究有关点间的距离的最值问题时，常用定义把曲线上的点到焦点的距离转化为到另一焦点的距离或利用定义把曲线上的点到焦点的距离转化为其到相应准线的距离，再利用数形结合的思想去解决有关的最值问题．

例1 若点M(2,1)，点C是椭圆x216＋y2

7

＝1的右焦点，点A是椭圆的动点，则|AM|＋|AC|的最

小值是________

跟踪训练1 已知椭圆x29＋y2

5＝1，F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，点A(1,1)为椭圆内一点，

点P为椭圆上一点，求|PA|＋|PF1|的最大值．

2

题型二 有关圆锥曲线性质的问题

规律与方法

有关圆锥曲线的焦点、离心率、渐近线等问题是考试中常见的问题，只要掌握基本公式和概念，并且充分理解题意，大都可以顺利求解．

例2 已知椭圆x23m2＋y25n2＝1和双曲线x22m2－y2

3n2＝1有公共的焦点，那么双曲线的渐近线

方程是

跟踪训练2 已知双曲线x2a2－y2b2＝1的离心率为2，焦点与椭圆x225＋y2

9＝1的焦点相同，那

么双曲线的焦点坐标为________；渐近线方程为________．

题型三 直线与圆锥曲线位置关系问题

规律与方法：

1．直线和圆锥曲线的位置关系可分为三类：无公共点、仅有一个公共点及有两个相异的公共点．其中，直线与圆锥曲线仅有一个公共点，对于椭圆，表示直线与其相切；对于双曲线，表示与其相切或直线与双曲线的渐近线平行；对于抛物线，表示与其相切或直线与其对称轴平行．

2．有关直线与圆锥曲线的位置关系的题目可能会涉及直线与圆锥曲线的关系中的弦长、焦点弦及弦中点问题、取值范围、最值等问题．

3．这类问题综合性强，分析这类问题，往往利用数形结合的思想和“设而不求”的方法、对称的方法及根与系数的关系等．

例3 已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1 (a>b>0)的离心率为6

3，短轴一个端点到右焦点的距离为3.

(1)求椭圆C的方程；

(2)设直线l与椭圆C交于A、B两点，坐标原点O到直线l的距离为3

2

，求△AOB面积的最大值．

3

跟踪训练3 已知向量a＝(x，3y)，b＝(1,0)且(a＋3b)⊥(a－3b)． (1)求点Q(x，y)的轨迹C的方程；

(2)设曲线C与直线y＝kx＋m相交于不同的两点M、N，又点A(0，－1)，当|AM|＝|AN|时，求实数m的取值范围

题型四 与圆锥曲线有关的轨迹问题

规律与方法：

轨迹是动点按一定规律运动而形成的，轨迹的条件可以用动点坐标表示出来．求轨迹方程的基本方法是

(1)直接法求轨迹方程：建立适当的直角坐标系，根据条件列出方程； (2)待定系数法求轨迹方程：根据曲线的标准方程； (3)定义法求轨迹方程：动点的轨迹满足圆锥曲线的定义；

(4)代入法求轨迹方程：动点M(x，y)取决于已知曲线C上的点(x0，y0)的坐标变化，根据两者关系，得到x，y，x0，y0的关系式，用x，y表示x0，y0，代入曲线C的方程． 例4 如图，已知线段AB＝4，动圆O1与线段AB切于点C，且AC－BC＝22，过点A、B分别作圆O1切线，两切线交于点P，且P、O1均在AB的同侧，求动点P的轨迹方程．

　在每年的高考中,有关圆锥曲线的试题约占全卷总分的13%，是相当重要的考点。下面我整理了《高中数学圆锥曲线公式大全》，欢迎阅读。

　高中数学圆锥曲线公式大全

　1.焦半径公式 ，P为椭圆上任意一点，则│PF1│= a + eXo

　│PF2│= a - eXo

　F1 F2分别为其左，右焦点

　2.通径长 = 2b?/a

　3.焦点三角形面积公式

　S⊿PF1F2 = b?tanθ/2 θ为∠F1PF2

　这个可能有点难理解，不过结合第一定义可以较快的推，双曲线的也是同样方法

　4.左准点Q 自己取的名字方便叙述，准线与X轴的焦点

　过左焦点F1的任意一条线与椭圆交与A ，B 那么一定有：X轴平分∠AQB

　在右边也是一样

　1.通径就不说了 2.焦半径公式有8个，很难打符号的，不过可以根据极座标方程来直接解答，比焦半径公式还快一些

　3.焦点三角形面积公式

　S⊿PF1F2 =b?cotθ/2 左右支都是它

　y?=2px p>0过焦点的直线交它于AX1,Y1,BX2,Y2两点

　1.│AB│=X1 + X2 + p =2p/sin?θ θ为直线AB的倾斜角

　2. Y1*Y2 = -p? ， X1*X2 = p?/4

　3.1/│FA│ + 1/│FB│ = 2/p

　4.结论：以AB 为直径的圆与抛物线的准线线切

　5.焦半径公式： │FA│= X1 + p/2 = p/1-cosθ

　直线与圆锥曲线 y= Fx 相交于A ，B，则

　│AB│=√1+k? * [√Δ/│a│]

　圆锥曲线包括椭圆圆为椭圆的特例，抛物线，双曲线。

　圆锥曲线二次曲线的统一定义：

　到定点焦点的距离与到定直线准线的距离的商是常数e离心率的点的轨迹。当e>1时，为双曲线的一支，当e=1时，为抛物线，当0

　有途网我建议还是先研究书本的基本概念，掌握相关公式，图形特点，利用这些概念解决题目，之后再做习题。

　高中数学主要考点及易错点整理

　高中数学易错点

　不等式

　1.利用均值不等式求最值时，你是否注意到：“一正;二定;三等”.

　2.绝对值不等式的解法及其几何意义是什么?

　3.解分式不等式应注意什么问题?用“根轴法”解整式分式不等式的注意事项是什么?

　4.解含引数不等式的通法是“定义域为前提，函式的单调性为基础，分类讨论是关键”，注意解完之后要写上：“综上，原不等式的解集是……”.

　5.在求不等式的解集、定义域及值域时，其结果一定要用 *** 或区间表示;不能用不等式表示.

　6.两个不等式相乘时,必须注意同向同正时才能相乘,即同向同正可乘;同时要注意“同号可倒”即a>b>0，a<0.

　高中数学易错点

　数列

　1.解决一些等比数列的前项和问题，你注意到要对公比及两种情况进行讨论了吗?

　2.在“已知，求”的问题中,你在利用公式时注意到了吗?时，应有需要验证，有些题目通项是分段函式。

　3.你知道存在的条件吗?你理解数列、有穷数列、无穷数列的概念吗?你知道无穷数列的前项和与所有项的和的不同吗?什么样的无穷等比数列的所有项的和必定存在?

　4.数列单调性问题能否等同于对应函式的单调性问题?数列是特殊函式，但其定义域中的值不是连续的。

　5.应用数学归纳法一要注意步骤齐全，二要注意从到过程中，先假设时成立，再结合一些数学方法用来证明时也成立。

　高中数学主要考点：立体几何初步

　考点1：空间几何体的结构、三检视和直检视

　考点2：空间几何体的表面积和体积

　考点3：点、线、面的位置关系

　考点4：直线、平面平行的性质与判定

　考点5：直线、平面垂直的判定及其性质

　高中数学主要考点：三角函式

　考点1：任意角的三角函式、同三角函式和诱导公式

　考点2：三角函式的影象和性质

　考点3：三角函式的最值与综合运用

　考点4：三角恒等变换

　考点5：解三角形

　高中数学主要考点：数列

　考点1：数列的概念及其表示

　考点2：等差数列

　考点3:等比数列

　考点4：数列的综合运用