高考数学经典题,高考数学经典题型与变式电子版

巩固

1．函数f(x)＝1x－x的图象关于(　　)

A．y轴对称 B．直线y＝－x对称

C．坐标原点对称 D．直线y＝x对称

解析：选C.∵f(x)的定义域{x∈R|x≠0}，关于原点对称，

又f(－x)＝1－x－(－x)＝－(1x－x)＝－f(x)，

∴f(x)是奇函数，其图象关于原点对称．故选C.

2．函数y＝ln(1－x)的图象大致为(　　)

解析：选C.本题中由于我们比较熟悉y＝lnx的图象，它的图象是位于y轴右边过点(1,0)且有上升趋势的图象．接着y＝ln(－ x)的图象是由y＝lnx的图象关于y轴翻折到y轴左边所得．再将所翻折图象向右移一个 单位即得y＝ln[－(x－1)]＝ln(1－x)的图象．

3．(原创题)如右图所示，已知圆x2＋y2＝4，过坐标原点但不与x 轴重合的直线l、x轴的正半轴及圆围成了两个区域，它们的面积分别为p和q，则p关于q的函数图象的大致形状为图中的(　　)

解析：选B.因p＋q为定值，故选B.

4.已知下列曲线：

以下编号为①②③④的四个方程：

① x－y＝0；②|x|－|y|＝0；③x－|y|＝0；④|x|－y＝0.

请按曲线A、B、C、D的顺序，依次写出与之对应的方程的编号________．

解析：按图象逐个分析，注意x、y的取值范围．

答案：④②①③

5．设奇函数f(x)的定义域为[－5,5]，若当x∈[0,5]时，f(x)的图象如图，则不等式f(x)＜0的解集是________．

解析：由奇函数图象的特征可得f(x)在 [－5,5]上的图象．由图象可解出结果．

答案：{x|－2＜x＜0或2＜x≤5}

6．(1)作函数y＝|x－x2|的图象；

(2)作函数y＝x2－|x|的图象．

解：(1)y＝x－x2，0≤x≤1，－(x－x2)，x＞1或x＜0，

即y＝－(x－12)2＋14，0≤x≤1，(x－12)2－14，x＞1或x＜0，其图象如图①所示．

(2)y＝x2－x，x≥0，x2＋x，x<0，

即y＝(x－12)2－14，x≥0，(x＋12)2－14，x＜0，其图象如图②所示．

练习

1．有一空容器，由悬在它上方的一根水管均匀地注水，直至把容器注满，在注水过程中水面的高度变化曲线如图索示，其中PQ为一线段，则与此图相对应的容器的形状是(　　)

解析：选C.由函数图象可判断出该容器必定有不规则形状，再由PQ为直线段，容器上端必是直的一段，故可排除ABD，选C.

2．(2009年高考安徽卷)设a＜b，函数y＝(x－a)2(x－b)的图象可能是(　　)

解析：选C.当x＞b时，y＞0，x＜b时，y≤0.故选C.

3．函数y＝f(x)的图象如图所示，则函数y＝log0.5f(x)的图象大致是(　　)

解析：选C.由同增异减的单调性原则可得：当x∈(0,1)时y＝log0.5f(x)为增函数，且y＜0，当x∈(1,2)时y＝log0.5f(x)为减函数，且－1＜y＜0，分析各选项易知只有C符合上述条件．

4．(2009年高考北京卷)为了得到函数y＝lgx＋310的图象，只需把函数y＝lgx的图象上 所有的 点(　　)

A．向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度

B．向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度

C．向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度

D．向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度

解析：选C.∵y＝lgx＋310＝lg(x＋3)－1，∴将y＝lgx的图象上的点向左平移3个单位长度得到y＝lg(x＋ 3)的图象，再将y＝lg(x＋3)的图象上的点向下平移1个单位长度得到y＝lg(x＋3)－1的图象．

5.下列函数的图象，经过平移或翻折后不能与函数y＝log2x的图象重合的函数是(　　)

A．y＝2x　　　　　　　B．y＝log12x

C．y＝12?4x D．y＝log21x＋1

解析：选C.y＝log2x与y＝2x关于y＝x对称；y＝log2x与y＝log12x关于x轴对称；而y＝log21x＋1的图象可由y＝log2x的图象翻折再平移得到．

6．函数f(x)的图象是两条直线的一部分(如图所示)，其定义域 为[－1,0)∪(0,1]，则不等式f(x)－f(－x)＞－1的解集是(　　)

A．{x|－1≤x≤1且x≠0}

B．{x|－1≤x＜0}

C．{x|－1≤x＜0或12＜x≤1}

D．{x|－1≤x＜－12或0＜x≤1}

解析：选D.由图可知，f(x)为奇函数．

∴f(－x)＝－f(x)，

∴f(x)－f(－x)＞－1

7．如图，函数f(x)的图象是曲线OAB，其中点O，A，B的坐标分别为(0,0)，(1,2)，(3,1)，则f(1f(3))的值等于________．

解析：∵f(3)＝1，∴1f(3)＝1，

∴f(1f(3))＝f(1)＝2.

答案：2

8．函数y＝f(x)(x∈[－2,2])的图象如图所示，则f(x)＋f(－x)＝________.

解析：由图象可知f(x)为定义域上的奇函数．

∴f(x)＋f(－x)＝f(x)－f(x)＝0.

答案：0

9．已知函数f(x)＝2－x2，g(x)＝x.若f(x)*g(x)＝min{f(x)，g(x)}，那么f(x)*g(x)的最大值是________．(注意：m in表示最小值)

解析：画出示意图

f(x)*g(x)＝ 2－x2，x≤－2，x，－2＜x＜1，2－x2，x≥1

其最大值为1.

答案：1

10．已知函数f(x)＝

(1)在如图给定的直角坐标系内画出f(x)的图象；

(2)写出f(x)的单调递增区间．

解：(1)函数f(x)的图象如图所示．,

(2)由图象可知，函数f(x)的单调递增区间为[－1,0]，[2,5]．

11.若1＜x＜3，a为何值时，x2－5x＋3＋a＝0有两解、一解、无解？

解：原方程化为：a＝－x2＋5x－3，①,作出函数y＝－x2＋5x－3(1＜x＜3)的图象如图．

显然该图象与直线y＝a的交点的横坐标是方程①的解，由图可知：当3＜a＜134时，原方程有两解；

当1＜a≤3或a＝134时，原方程有一解；

当a＞134或a≤1时，原方程无解．

12．已知函数f(x)＝m(x＋1x)的图象与h(x)＝14(x＋ 1x)＋2的图象关于点A(0,1)对称．

(1)求m的值；

(2)若g(x)＝f(x)＋a4x在(0,2]上是减函数，求实数a的取值范围．

解：(1)设P(x，y)是h(x)图象上一点，点P关于A(0,1)的对称点为Q(x0，y0)，则x0＝－x，y0＝2－y.

∴2－y ＝m(－x－1x)，

∴y＝m(x＋1x)＋2，从而m＝14.

(2)g(x)＝14(x＋1x)＋a4x＝14(x＋a＋1x)．

设0<x1<x2≤2，

则g(x1)－g(x2)＝14(x1＋a＋1x1)－14(x2＋a＋1x2)

＝14(x1－x2)＋14(a＋1)?x2－x1x1x2

＝14( x1－x2)?x1x2－(a＋1)x1x2>0，

并且在x1，x2∈(0,2]上恒成立，

∴x1x2－(a＋1)<0，∴1＋a>x1x2,1＋a≥4，∴a≥3.

巩固（二）

1．(2010年皖南八校联考)设函数f(x)是定义在R上的奇函数，且f(－3)＝－2，则f(3)＋f(0)＝(　　)

A．3　　　　　　　　　　B．－3

C．2 D．7

解析：选C.由题意得f(3)＋f(0)＝－f(－3)＋f(0)＝2＋0＝2.故选C.

2．(2009年高考福建卷)下列函数f(x)中，满足“对任意的x1，x2∈(0，＋∞)，当x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2)”的是(　　)

A．f(x)＝1x B．f(x)＝(x－1)2

C．f(x)＝ex D．f(x)＝ln(x＋1)

解析：选A.由题意知函数f(x)在(0，＋∞)上是减函数，

在A中，由f′(x)＝－1x2＜0得f(x)在(－∞，0)和(0，＋∞)上为减函数；

在B中，由f′(x)＝2(x－1)＜0得x＜1，所以f(x)在(－∞，1)上为减函数．

在C中，由f′(x)＝ex＞0知f(x)在R上为增函数．

在D中，由f′(x )＝1x＋1且x＋1＞0知f′(x)＞0，所以f(x)在(－1，＋∞)上为减函数．

3．已知函数f(x)为R上的减函数，则满足f(|1x|)＜f(1)的实数x的 取值范围是(　　)

A．(－1,1) B．(0,1)

C．(－1,0)∪(0,1) D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)

解析：选C.∵f(x)在R上为减函数且f(|1x|)＜f(1)，

∴|1x|＞1，

即|x|＜1 且x≠0，得－1＜x＜0或0＜x＜1.

4．(原创题)已知f(x)＝x2＋x，则f(a＋1a)________f(1)．(填“≤”“≥”)．

解析：∵a＋1a≥2或a＋1a≤－2，

f(x)的对称轴为x＝－12.

∴f(x)在(－12，＋∞)上为增函数，

在(－∞，－12)上为减函数．

又f(2)＝22＋2＝6>2＝f(1)，

f(－2)＝(－2)2＋(－2)＝2＝f(1)，

∴f(a＋1a)≥f(1)．

答案：≥

5．若函数f(x)＝(x＋a)(bx＋2a)(常数a、b∈R)是偶函数，且它的值域为(－∞，4]，则该函数的解析式f(x)＝________________.

解析：由于f(x)的定义域为R，值域为(－∞，4]，

可知b≠0，∴f(x)为二次函数，

f(x)＝(x＋a)(bx＋2a)

＝bx2＋(2a＋ab)x＋2a2.

∵f(x)为偶函数，

∴其对称轴为x＝0，∴－2a＋ab2b＝0，

∴2a＋ab＝0，∴a＝0或b＝－2.

若a＝0，则f(x)＝bx2与值域是(－∞，4]矛盾，∴a≠0，

若b＝－2，又其最大值为4，

∴4b×2a24b＝4，∴2a2＝4，

∴f(x)＝－2x2＋4.

答案 ：－2x2＋4

6.已知函数f(x)＝1a－1x(a＞0，x＞0)．

(1)求证：f(x)在(0，＋∞)上是增函数；

(2)若f(x)在[12，2]上的值域是[12，2]，求a的值．

解：(1)证明：设x2＞x1＞0，

则x2－x1＞0，x1x2＞0.

∵f(x2)－f(x1)＝(1a－1x2)－(1a－1x1)

＝1x1－1x2＝x2－x1x1x2＞0，

∴f(x2)＞f(x1)，∴f(x)在(0，＋∞)上是增函数．

(2)∵f(x)在[12，2]上的值域是[12，2]，

又f(x)在[12，2]上单调递增，

∴f(12)＝12，f(2)＝2，代入可得a＝25.

练习

1．对于定义在R上的任何奇函数，均有(　　)

A．f(x)?f(－x)≤0 B．f(x)－f(－x)≤0

C．f(x)?f(－x)＞0 D．f(x)－f(－x)＞0

解析：选A.∵f(－x)＝－f(x)，

∴f(x)?f(－x)＝－[f(x)]2≤0.

2．(2010年重庆联合诊断)已知函数f(x)的定义域为[a，b]，函数y＝f(x)的图象如下图所示，则函数f(|x|)的图象是(　　)

解析：选B.∵y＝f(|x|)是偶函数，∴y＝f(|x|)的图象是由y＝f( x)把x>0的图象保留，x<0部分的图象关于y轴对称而得到的．

3．在R上定义的函数f(x)是偶函数，且f(x)＝f(2－x)，若f(x)在区间[1,2]上是减函数，则f(x)(　　)

A．在区间[－2，－1]上是增函数，在区间[3,4]上是增函数

B．在区间[－2，－1]上是增函数，在区间[3,4]上是减函数

C．在区间[－2，－1]上是减函数，在区间[3,4 ]上是增函数

D．在区间[－2，－1]上是减函数，在区间[3,4]上是减函数

解析：选B.由f(x)＝f(2－x)知函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，作出函数的特征性质图如下．

A．－1 B．1

C．6 D．12

解析：选C.由题意知

当－2≤x≤1时，f(x)＝x－2，

当1＜x≤2时，f(x)＝x3－2，

又∵f(x)＝x－2，f(x)＝x3－2在定义域上都为增函数，

∴f(x)的最大值为f(2)＝23－2＝6.

5．(2009年高考福建卷)定义在R上的偶函数f(x)的部分图象如右图所示，则在(－2,0)上 ，下列函数中与f(x)的单调性不同的是(　　)

A．y＝x2＋1 B．y＝|x|＋1

C．y＝2x＋1，x≥0x3＋1，x＜0 D．y＝ex，x≥0e－x，x＜0

解析：选C.利用偶函数的对称性知f(x)在(－2,0)上为减函数．又y＝x2＋1在(－2,0)上为减函数；y＝|x|＋1在(－2,0)上为减函数；y＝2x＋1，x≥0，x3＋1，x＜0在(－2,0)上为增函数．

y＝ex，x≥0，e－x，x＜0在(－2,0)上为减函数，故选C.

6．(2009年高考陕西卷)定义在R上的偶函数f( x)满足：对任意的x1，x2∈(－∞，0](x1≠x2)，有(x2－x1)(f(x2)－f(x1))＞0，则当n∈N*时，有(　　)

A．f(－n)＜f(n－1)＜f(n＋1)

B．f(n－1)＜f(－n)＜f(n＋1)

C．f(n＋1)＜f(－n)＜f(n－1)

D．f(n＋1)＜f(n－1)＜f(－n)

解析：选C.对任意x1，x2∈(－∞，0](x1≠x2)，有(x2－x1)?(f(x2)－f(x1))＞0，因此x2－x1和f(x2)－f(x1)同号，所以f(x)在(－∞，0]上是增函数．由于n∈N*，且n＋1＞n＞n－1，所以－n－1＜－n＜－n＋1≤0，即f(n＋1)＝f(－n－1)＜f(－n)＜f(－n＋1)＝f(n－1)．

7．函数f(x)在R上为奇函数，且x＞0时，f (x)＝x＋1，则当x＜0时，f(x)＝________.

解析：∵f(x)为奇函数，x＞0时，f(x)＝x＋1，

∴当x＜0时，－x＞0，

f(x)＝－f(－x)＝－(－x＋1)

即x＜0时，f(x)＝－(－x＋1)＝－－x－1.

答案：－－x－1

8．函数y＝－(x－3)|x|的递增区间是________．

解析：y＝－(x－3)|x|

＝－x2＋3x，x＞0，x2－3x，x≤0.

作出该函数的图象，观察图象知递增区间为[0，32]．

答案：[0，32]

9．已知函数f(x)＝x3＋x，对任意的m∈[－2,2]，f(mx－2)＋f(x)＜0恒成立，则x的取 值范围为________．

解析：易知原函数在R上单调递增，且为奇函数，故f(mx－ 2)＋f(x)＜0?f(mx－2)＜－f(x)＝f(－x)，此时应有mx－2＜－x?xm＋x－2＜0，对所有m∈[－2,2]恒成立，令f (m)＝xm＋x－2，此时只需f(－2)＜0f(2)＜0即可，解之得－2＜x＜23.

答案：(－2，23)

10．求证：f(x)＝1＋xx在(0,1]上是减函数．

证明：设x1，x2∈(0,1]，且x1<x2.

则f(x1)－f(x2)＝1＋x1x1－1＋x2x2

＝x2＋x1x2－x1－x2x1x1?x2

＝x2－x1＋x1x2(x1－x2)x1?x2

＝(x2－x1)(1－x1x2)x1x2.

∵x1，x2∈(0,1]，且x1<x2，

∴x2－x1>0,1－x1x2>0，

∴f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)．

所以f(x)＝1＋xx在(0,1]上是减函数．

11．已知函数f( x)在定义域[－2,2]内递减，求满足f(1－m)＋f(1－m2)<0的实数m的取值范围．

解：∵f (x)的定义域为[－2,2]，

∴有－2≤1－m≤2，－2≤1－m2≤2，

解得－1≤m≤3，①

又f(x)为奇函数，在[－2,2]上递减，

∴f(1－m)<－f(1－m2)＝f(m2－1)?1－m>m2－1，

即－2<m<1.②

综合①②可知，－1≤m<1.

12．已知函数f(x)＝－x2＋2x，x＞00，　　　　x＝0x2＋mx，　x＜0是奇函数．

(1)求实数m的值；

(2)若函数f(x)在区间[－1，a－2]上单调递增，求实数a的取值范围．

解：(1)设x＜0，则－x＞0，

所以f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)＝－x2－2x，

又f(x)为奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，

于是x＜0时，f (x)＝x2＋2x＝x2＋mx，

所以m＝2.

(2)要使f(x)在[－1，a－2]上单调递增，

结合f(x)的图象知

所以1＜a≤3，故实数a的取值范围是(1,3]．

17.（12分）

△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为

（1）求sinBsinC;

（2）若6cosBcosC=1,a=3,求△ABC的周长

18.（12分）

如图，在四棱锥P-ABCD中，AB//CD，且

(1)证明：平面PAB⊥平面PAD；

(2)若PA=PD=AB=DC,,求二面角A-PB-C的余弦值.

19．（12分）

为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸（单位：cm）．根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布N(μ,σ?)．

（1）假设生产状态正常，记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在(μ–3σ,μ+3σ)之外的零件数，求P(X≥1)及X的数学期望；学科&网

（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在(μ–3σ,μ+3σ)之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．

（ⅰ）试说明上述监控生产过程方法的合理性；

（ⅱ）下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：

9.95

10.12

9.96

9.96

10.01

9.92

9.98

10.04

10.26

9.91

10.13

10.02

9.22

10.04

10.05

9.95

经计算得，，其中xi为抽取的第i个零件的尺寸，i=1,2,…,16．

用样本平均数作为μ的估计值，用样本标准差s作为σ的估计值，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除之外的数据，用剩下的数据估计μ和σ（精确到0.01）．

附：若随机变量Z服从正态分布N(μ,σ2)，则P(μ–3σ<Z<μ+3σ)=0.997?4，0.997?416≈0.959?2，．

20.（12分）

已知椭圆C：x?/a?+y?/b?=1（a>b>0），四点P1（1,1），P2（0,1），P3（–1，√3/2），P4（1，√3/2）中恰有三点在椭圆C上.

（1）求C的方程；

（2）设直线l不经过P2点且与C相交于A，B两点.若直线P2A与直线P2B的斜率的和为–1，证明：l过定点.

21.（12分）

已知函数=ae?^x+（a﹣2）e^x﹣x.

（1）?讨论的单调性；

（2）?若有两个零点，求a的取值范围.

（二）选考题：共10分。

请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。

22．[选修4-4，坐标系与参数方程]（10分）

在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（θ为参数），直线l的参数方程为.

（1）若a=-1，求C与l的交点坐标；

（2）若C上的点到l的距离的最大值为，求a.

23.[选修4—5：不等式选讲]（10分）

已知函数f（x）=–x?+ax+4，g(x)=│x+1│+│x–1│.

（1）当a=1时，求不等式f（x）≥g（x）的解集；

（2）若不等式f（x）≥g（x）的解集包含[–1，1]，求a的取值范围.