圆锥体高考题,圆锥曲线高考题型总结

1.高考数学试卷2021

2.2009宁夏高考理科数学圆锥曲线题.

3.高考数学最难的压轴题解题技巧

4.多方法解2022年高考新全国1卷第21题圆锥曲线张角模型三角形面积

1．本单元内容在课本及高考中的地位

求圆锥曲线的方程（含求轨迹），既是解析几何的重要基本知识，同时又是高考每年必考的重点内容。其主要内容是椭圆、双曲线、抛物线方程的求法，这一类问题的解决往往要涉及到函数、不等式、方程、三角、直线等有关知识和数形结合思想、函数与方程思想、转换思想的综合应用，因此在高考中常常以圆锥曲线为载体来全面考查学生的综合能力。

2．求圆锥曲线方程的常用方法

定义法、待定系数法、直接法、代入法、参数法、几何法等。关键是形数结合，建立等量关系。

3．对本单元的学习和考试要求

能根据所给条件，选择适当坐标系求出曲线方程，并画出方程所表示的曲线。

4．求曲线方程的一般步骤及要点是

建系、列式、化简、证明。

第一步骤“建系（建立坐标系）”在实际问题中有两种情况：（1）所研究的问题中已经有坐标系，此时在给定的坐标系中求出方程即可；（2）条件中无坐标系，这时必须首先选取适当坐标系，通常总是选取特殊位置的点为原点，相互垂直的直线为坐标轴等。

第二步是最重要的一环，须仔细分析曲线的特征，注意揭示隐含条件，抓住曲线上任意点有关的等量关系、所满足的几何条件，列出方程。在将几何条件转化为代数方程的过程中，要注意圆锥曲线定义和初中平面几何知识的应用，还会常用到一些基本公式，如两点间的距离公式、点到直线的距离公式、直线斜率公式等。

第三步，在化简过程中，要注意运算和变形的合理性与准确性，避免“失解”和“增解”。

对于第四步，中学阶段不作要求（从理论上讲则是必要的），多数情况下不会有什么问题，但若遇特殊情况则应该适当予以说明。例如，根据题意，某些点虽然其坐标满足方程，但却不在所求曲线上，那么可通过限制x、y的取值范围把它删除掉。

5．例题解析

例1 求经过定点A（2，0），且与定直线x=-2相切的动圆圆心P的轨迹方程。

解如图易知，动点到定点的距离与到定直线的距离相等，根据圆锥曲线的定义可知，动点轨迹是抛物线y2=2px,其中，p＝4，所以，所求P点轨迹方程是y2=8x。

例2 （1992年全国高考题）焦点为F1（－2，0）和F2（6，0），离心率为2的双曲线的方程是______________

解 由两焦点知双曲线的中心为（2，0），c=4,c/a=2,a=2,b2=12，

∴所求曲线方程是。

例3 （1993年全国理科题）动圆与定圆x2+y2=1和x2+y2-8x+12=0都相外切，则动圆圆心的轨迹方程是（ ）

A．抛物线 B．圆 C．双曲线的一支 D．椭圆

解 由条件设O：x2+y2=1，r1=1；M：(x-2)2+y2=4，r2=2，M（2，0），设动圆圆心为P（x,y），半径为r,则有, ,

∴,

根据双曲线的定义，动圆圆心轨迹是双曲线的一支。故选C。

例4 在双曲线的上支有不同三点A(x1,y1),C(x2,y2),B(,6)到焦点F（0，5）的距离成等差数列，求y1+y2的值。

解 ∵，∴双曲线的准线为m:y=5/12,

作AA1⊥m于A1则, ∴,

同理：,

∵,

∴ 2,

∴y1+y2=12。

说明 1〕以上四例都是根据圆锥曲线的定义求解，这是求圆锥曲线方程最重要的解法之一，其中例3和例4分别使用了第一和第二定义，实际上，凡题目中出现“焦半径（焦点与曲线上点的连线）”，就应考虑使用圆锥曲线的定义，若还有“准线”出现，则就一定会用到第二定义。

2〕动圆与定圆相切的问题，要连接两圆心（平面几何常用线），寻找圆心距间的关系，其轨迹往往是抛物线、椭圆或双曲线中的一种，在这一点上例3比较有代表性。

例5 与双曲线有相同渐近线，且经过点A（2，－3）的双曲线的方程是______________.

解 设所求双曲线方程是,

∵点A在双曲线上，∴

∴双曲线方程是：

说明 本题考查待定系数法、共渐近线系的双曲线方程的应用。

例6 （19年全国高考题）椭圆C与椭圆关于直线x+y=0对称，椭圆C的方程是（ ）

A． B．

C． D．

分析 设所求椭圆C上任一点M(x,y)，易知M关于直线x+y=0的对称点在已知椭圆上，可得椭圆C的方程。

解 设椭圆C上任一点M(x,y)，利用M关于直线x+y=0的对称点为M’(-x,-y),由题意可知，M’是已知椭圆上的点。

∴所求方程为 即 ，

故选A。

例7 (1990年广东题)一个动点在圆x2+y2=1上移动时,它与定点(3,0)连线中点的轨迹方程是( ).

A.( x+3)2+y2=4 B. (x-3)2+y2=1 C. (2x-3)2+4y2=1 D. (x+3/2)2+y2=1/2

解 如图，设M为圆上任意一点，

定点为A (3,0),连AM，设AM中点为N,OA中点为C(3/2,0)，

则CN=1/2，于是N到C的距离为定长1/2，

其轨迹方程为(x-3/2)2+y2=1/4,即(2x-3)2+4y2=1，

因此选C。

说明 例8例9解法为几何法，即当题目中出现圆、平行四边形等等平面图形时，应充分利用它们的几何性质，寻找所求动点满足的几何条件去建立等量关系，在此题中此法比使用其他方法简便。

例8 已知定点A（3，0），P是单位圆x2+y2=上的动点，∠AOP的平分线交PA于M，求M点的轨迹方程。

解 如图，设M、P的坐标分别是(x,y)及(x。，y。)

由三角形角平分线的性质得。

,即

∴

x= xo=,

y= yo=

∵xo2+yo2=1, ∴M点的轨迹方程是()2+()2=1,

即M ：(x-+y2=.

说明 本题解法为代入法，即利用所求轨迹上的动点坐标x和y表示出已知曲线上的动点坐标xo和yo，再代入已知曲线方程就可得到所求轨迹的方程，这也是求圆锥曲线方程使用率很高的方法。

例9 方程ax2+bx+c=0(a.b.c∈R,a≠0)的判别式的值等于1，两根之积为常数k(k≠0)，求点（b，c）所表示的曲线方程。

解 根据题意有

b2-4ac=1,

消去a得，b2-4 即b2-。

∴点（b,c）所在曲的线方程是x2-。

说明 本题解法为参数法。

例10（1993年高考题）在面积为1的⊿PMN中，tg∠PMN＝1/2，tg∠MNP=－2。建立适当的坐标系，求出以M、N为焦点，且过点P的椭圆方程。

解 如图，以MN所在直线为x轴，MN的垂直平分线为y轴建立坐标系，

设以M、N为焦点，且过点P的椭圆方程为,焦点为M（－c,0）、N(c,0)。

由tg∠PMN=1/2, tg=(∠PMN)=2得直线PM和PN的方程分别为y=(x+c)和y=2(x-c),

联立两方程解得x=,y=,即P点坐标为（,），

故S⊿PMN＝

由条件SΔPMN＝1得c=,即P点坐标为（），

代入椭圆方程得,化简得3b4-8b2-3=0,

解得b=,a2=b2+c2=3+=.

所以，所求方程为.

例11 （1998年全国高考题）如图，直线l1和l2相交于点M，电Nl1，以A、B为端点的曲线段C上任意一点到l2的距离与到点N的距离相等，若⊿AMN为锐角三角形，＝，＝3，且＝6，建立适当坐标系，求曲线段C的方程。

解 如图，以l1为x轴，MN的垂直平分线为y轴建立坐标系，根据题意，曲线段C是以N为焦点，l2为准线的抛物线的一段。

设曲线C的方程为y2=2px (p>0),(xAXxB,y>0), 其中xA, xB分别为A、B的横坐标，p=。

∴M(-p/2,0)，N(p/2,0)。

由＝，＝3得

（xA＋p/2）2+2p xA=17┄①,

（xA-p/2）2+2p xA =9 ┄② .

联立①②解得xA＝p/4, 代入①式并由p>0解得p=4, xA=1;或p=2，xA=2。

∵⊿AMN是锐角三角形，∴p/2> xA，故舍去p=2，xA=2。

由点P在曲线段C上，得xB=－P/2＝4。

综上得曲线段C的方程为 y2=8x(1≤x≤4, y>0).

说明 以上两例主要考查根据所给条件选择适当坐标系，（利用待定系数法）求曲线方程的解析几何的基本思想，考查椭圆与抛物线的概念和性质、曲线与方程的关系以及综合应用知识的能力。

6．小结

求圆锥曲线的方程（含轨迹）是解析几何的基本内容，必须把握好各种方法在什么情况下使用，适当选择解法、适当选择坐标系、合理充分地利用数形条件建立等式关系是解决此类问题的基本功。解题的主要规律可以概括为：“曲线定义要记清,数形关系须探明,一定选好坐标系，方法合理过程畅。选参、引参用好参，代入消元巧转换，待定系数为常法，列出等式是关键，理清关系思路开，一点破译全局活。”

高考数学试卷2021

右不等号：λ＋1／λ＋2<16/3解得1/3<λ<3

左不等号：4<λ＋1／λ＋2解得λ不等于1

综上:1/3<λ<1

然后“FG=λFH,点G在点F ,H 之间”易得：0<λ<1 （0</FG/</FH/模长）

注意充分利用条件，抓住题干中的每一句话（尤其是圆锥曲线和应用题）！！！

2009宁夏高考理科数学圆锥曲线题.

高考数学试卷2021：挑战高难度的数学题目

高考数学试卷一直以来都是考生们最为头疼的一项考试，因为其中的数学题目难度极高，需要考生们在极短的时间内迅速作答，而且还要保证答案的准确性。2021年的高考数学试卷更是如此，其中的一些题目难度甚至超出了往年的水平，令许多考生感到十分困难。下面，我们就来看看2021年高考数学试卷中的一些难题，以及它们的解答方法。

难题一：函数极值问题

这道题目要求我们求出函数f(x)=x^3-3x^2+2x+1在区间[-1,3]上的最大值和最小值。

首先，我们需要求出函数的导数f'(x)，然后将其置为零，求出所有的驻点。这里，我们可以得到f'(x)=3x^2-6x+2，将其置为零，得到x=1±√3/3。接下来，我们需要将驻点和区间端点带入函数中求出函数值，然后比较大小，得到最大值和最小值。

经过计算，我们可以得到函数在x=-1处取得最小值-1，而在x=1+√3/3处取得最大值7-4√3/3。

难题二：三角函数反函数问题

这道题目要求我们求出函数f(x)=sin(x)+cos(x)在[-π/4,π/4]上的反函数。

首先，我们需要将函数f(x)转化为一个单调递增的函数，这里我们可以将其表示为f(x)=√2sin(x+π/4)，然后求出其反函数f^-1(x)。接下来，我们需要将f^-1(x)表示为一个三角函数的形式，这里我们可以使用反正切函数，得到f^-1(x)=arctan(x/√2-1)。

最后，我们需要将[-π/4,π/4]映射到[f(-π/4),f(π/4)]上，然后将其带入f^-1(x)中，得到反函数在[f(-π/4),f(π/4)]上的取值范围。

难题三：立体几何问题

这道题目要求我们求出一个球内切于一个正方体的最大圆锥体积。

首先，我们需要求出正方体的边长a和球的半径r之间的关系，这里我们可以得到r=a/√2。接下来，我们需要求出圆锥的和底面半径r之间的关系，这里我们可以利用相似三角形的性质，得到h=2r/√3。

最后，我们需要求出圆锥的体积V，这里我们可以利用圆锥的公式V=1/3πr^2h，将r和h代入公式中，得到V=a^3/3√2π。

难题四：概率问题

这道题目要求我们求出一个正方形内随机撒点，使得在正方形内任意取一个点，与最近的点的距离大于等于1的概率。

首先，我们需要求出正方形内随机撒点的概率密度函数，这里我们可以得到f(x,y)=1/π，然后求出最近的点与该点的距离d的概率密度函数，这里我们可以得到f(d)=2d/π，然后求出d≥1的概率。

经过计算，我们可以得到该概率为2/π，约为63.66%。

难题五：微积分问题

这道题目要求我们求出函数f(x)=x^2lnx在[1,e]上的最大值。

首先，我们需要求出函数的导数f'(x)，然后将其置为零，求出所有的驻点。这里，我们可以得到f'(x)=2xlnx+x，将其置为零，得到x=e^-1。接下来，我们需要将驻点和区间端点带入函数中求出函数值，然后比较大小，得到最大值。

经过计算，我们可以得到函数在x=e^-1处取得最大值e^-2。

高考数学最难的压轴题解题技巧

这个不难换呀~~~不过弄出来还是椭圆吧！

|op|/|om|=入两边平方→得到（x^2+(yp)^2)/{x^2+(ym)^2}=入^2→去掉分母，移项得到：x^2+（yp)^2=入^2{x^2+(ym)^2}……（1） 我们是要把yp替换掉。由椭圆方程可知：(yp)^2=7-(7x^2)/16把yp代入（1）式：x^2+7-(7x^2)/16=入^2{x^2+(ym)^2}→x^2（9/16-入^2)-入^2(ym)^2+7=0→把7移到右边，两边乘以-1就得到答案了。。。

楼主，计算要慢点，不要晕啊，这个代换已经是很简单的了，主要是把YP看成一个整体来代换掉，这个还是比较直接的。。我不知道你给的问题补充里面点M的坐标的m是否已知。我觉得这样设有点问题，其实可以直接设点P（x,y),点M(x,Y)。现在我们就可以直接求(x,Y)的关系了，由椭圆方程，求出y^2=7-(7x^2)/16，代入，就可以得到方程，答案是一样的，不过这样比较直白。

多方法解2022年高考新全国1卷第21题圆锥曲线张角模型三角形面积

高考数学压轴题综合性比较强，一道题就会涉及很多的知识点，基本都是为那些学霸们准备的。但是，有时间就去试一试，能拿一分就多拿一分。下面是我整理的高考压轴题型以及压轴题的解题技巧。

1 高考数学最难的压轴题——立体几何

　立体几何题，证明题注意各种证明类型的方法（判定定理、性质定理），注意引线，一般都是对角线、中点、成比例的点、等腰等边三角形中点等等，理科其实证明不出来直接用向量法也是可以的。计算题主要是体积，注意将字母换位（等体积法）；

　线面距离用等体积法。理科还有求二面角、线面角等，用建立空间坐标系的方法（向量法）比较简单，注意各个点的坐标的计算，不要算错。

1 高考数学最难的压轴题——圆锥曲线

　圆锥曲线题，第一问求曲线方程，注意方法（定义法、待定系数法、直接求轨迹法、反求法、参数方程法等等）。一定检查下第一问算的数对不，要不如果算错了第二问做出来了也白算了。

　第二问有直线与圆锥曲线相交时，记住“联立完事用联立”，第一步联立，根据韦达定理得出两根之和、两根之差、因一般都是交于两点，注意验证判别式>；0，设直线时注意讨论斜率是否存在。

　第二步也是最关键的就是用联立，关键是怎么用联立，即如何将题里的条件转化成你刚才联立完的x1+x2和x1x2，然后将结果代入即可，通常涉及的题型有弦长问题（代入弦长公式）、定点问题（根据比例关系建立三点坐标之间的一个关系式（横坐标或纵坐标），再根据根与系数的关系建立圆锥曲线上的两点坐标的两个关系式，从这三个关系式入手解决）、点对称问题（利用两点关于直线对称的两个条件，即这两点的连线与对称轴垂直和这两点的中点在对称轴上）、定点问题（直线y=kx+b过定点即找出k与b的关系。

1 高考数学最难的压轴题——导数

　高考导数压轴题考察的是一种综合能力，其考察内容方法远远高于课本，其涉及基本概念主要是：切线，单调性，非单调，极值，极值点，最值，恒成立，任意，存在等。

　1.一般题目中会有少量文字描述，所以就会涉及文字的简单翻译。

　2.题目中最核心的描述为各类式子：主要为普通类型：一般涉及三次函数，指对数，分式函数，绝对值函数，个别情况会涉及三角函数，特殊类型：主要含有x1,x2,f(x1),f(x2)类型。

　解题思路：文字翻译处理一般较简单，核心为式子运算变形处理，对于特定式子主要通过模板解决，重点是导数压轴题中一般式子运算变形处理策略，同时会涉及一些复杂拓展图形的认识和快速作图能力。

本文中高考试题第（1）问是前作《 对圆锥曲线上某一点处张角所对弦过定点问题的探究——以2015-2021年高考圆锥曲线压轴题为例（20220401修订） 》中 定理2.2 的应用.