圆锥曲线高考题讲解,圆锥曲线在高考题

1.圆锥曲线在高考中的占比

2.高考圆锥曲线

3.高考圆锥曲线有哪些类型

4.高考数学中的圆锥曲线问题 请专家回答 谢谢啦 看分答题 认真对待哦 圆锥曲线究竟是 设

5.高中圆锥曲线典型题型分为哪几种？请大家帮忙归纳一下

6.求关于圆锥曲线的高考题

解由题知F1F2=2c

又由F1H垂直直线L垂足为H

则在RTΔF1HF2中

∠F2F1B=30°，∠F1F2H=60°，F1H=2√3

即cos∠F2F1H=cos30°=F1H/F1F2

即F1F2=F1H/cos30°=2√3/(√3/2)=4

即2c=4.

圆锥曲线在高考中的占比

高考倒数第二题一般考圆锥曲线，高考一般考椭圆或双曲线，无非是联立方程，韦达定理的应用。下面几题你看看吧

1，（2006全国II）已知△ABC的顶点B、C在椭圆x23＋y2＝1上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则△ABC的周长是（ C ）

（A）23 （B）6 （C）43 （D）12

2，（2006安徽高考卷）若抛物线 的焦点与椭圆 的右焦点重合，则 的值为（D ）

A． B． C． D．

3, (2006上海卷)已知在平面直角坐标系 中的一个椭圆，它的中心在原点，左焦点为 ,右顶点为 ,设点 ，则求该椭圆的标准方程为 。

4, （2006江西卷）已知 为双曲线 的两个焦点， 为双曲线右支上异于顶点的任意一点， 为坐标原点．下面四个命题

A． 的内切圆的圆心必在直线 上；B． 的内切圆的圆心必在直线 上；

C． 的内切圆的圆心必在直线 上； D． 的内切圆必通过点 ．

其中真命题的代号是 A、D （写出所有真命题的代号）．

5, 中心在原点，焦点在x轴上的一个椭圆与一双曲线有共同的焦点F1,F2,且 ,椭圆的长半轴与双曲线的半实轴之差为4，离心率之比为3：7。求这两条曲线的方程。

设椭圆的方程为 ，双曲线得方程为 ，半焦距c＝

由已知得：a1－a2＝4

，解得：a1＝7，a2＝3

所以：b12＝36，b22＝4，所以两条曲线的方程分别为：

，

6, 已知在平面直角坐标系 中的一个椭圆，它的中心在原点，左焦点为 ,右顶点为 ,设点 .

（1）求该椭圆的标准方程；

（2）若 是椭圆上的动点，求线段 中点 的轨迹方程；

（3）过原点 的直线交椭圆于点 ，求 面积的最大值。

(1)由已知得椭圆的半长轴a=2,半焦距c= ,则半短轴b=1.

又椭圆的焦点在x轴上, ∴椭圆的标准方程为

(2)设线段PA的中点为M(x,y) ,点P的坐标是(x0,y0),

由 x=

得

x0=2x－1

y=

y0=2y－

由,点P在椭圆上,得 ,

∴线段PA中点M的轨迹方程是 .

(3)当直线BC垂直于x轴时,BC=2,因此△ABC的面积S△ABC=1.

当直线BC不垂直于x轴时,说该直线方程为y=kx,代入 ,

解得B( , ),C(－ ,－ ),

则 ,又点A到直线BC的距离d= ,

∴△ABC的面积S△ABC=

于是S△ABC=

由 ≥－1,得S△ABC≤ ,其中,当k=－ 时,等号成立.

∴S△ABC的最大值是 .

高考圆锥曲线

该占比在15%左右。

根据2023年考试大纲，圆锥曲线在高考中的占比通常为25-30分，在整张高考试卷中占比约为15%。

圆锥曲线是高考压轴题必考题型之一，这个考点主要考查学生对圆锥曲线的理解与掌握，包括椭圆的定义及标准方程、双曲线的定义及标准方程、抛物线的定义及标准方程等知识点。

高考圆锥曲线有哪些类型

圆锥曲线定义的应用

规律与方法：

1、圆锥曲线的定义是相应标准方程和几何性质的“源”，对于圆锥曲线的有关问题，要有运用圆锥曲线定义解题的意识，“回归定义”是一种重要的解题策略．

2、研究有关点间的距离的最值问题时，常用定义把曲线上的点到焦点的距离转化为到另一焦点的距离或利用定义把曲线上的点到焦点的距离转化为其到相应准线的距离，再利用数形结合的思想去解决有关的最值问题．

例1 若点M(2,1)，点C是椭圆x216＋y2

7

＝1的右焦点，点A是椭圆的动点，则|AM|＋|AC|的最

小值是________

跟踪训练1 已知椭圆x29＋y2

5＝1，F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，点A(1,1)为椭圆内一点，

点P为椭圆上一点，求|PA|＋|PF1|的最大值．

2

题型二 有关圆锥曲线性质的问题

规律与方法

有关圆锥曲线的焦点、离心率、渐近线等问题是考试中常见的问题，只要掌握基本公式和概念，并且充分理解题意，大都可以顺利求解．

例2 已知椭圆x23m2＋y25n2＝1和双曲线x22m2－y2

3n2＝1有公共的焦点，那么双曲线的渐近线

方程是

跟踪训练2 已知双曲线x2a2－y2b2＝1的离心率为2，焦点与椭圆x225＋y2

9＝1的焦点相同，那

么双曲线的焦点坐标为________；渐近线方程为________．

题型三 直线与圆锥曲线位置关系问题

规律与方法：

1．直线和圆锥曲线的位置关系可分为三类：无公共点、仅有一个公共点及有两个相异的公共点．其中，直线与圆锥曲线仅有一个公共点，对于椭圆，表示直线与其相切；对于双曲线，表示与其相切或直线与双曲线的渐近线平行；对于抛物线，表示与其相切或直线与其对称轴平行．

2．有关直线与圆锥曲线的位置关系的题目可能会涉及直线与圆锥曲线的关系中的弦长、焦点弦及弦中点问题、取值范围、最值等问题．

3．这类问题综合性强，分析这类问题，往往利用数形结合的思想和“设而不求”的方法、对称的方法及根与系数的关系等．

例3 已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1 (a>b>0)的离心率为6

3，短轴一个端点到右焦点的距离为3.

(1)求椭圆C的方程；

(2)设直线l与椭圆C交于A、B两点，坐标原点O到直线l的距离为3

2

，求△AOB面积的最大值．

3

跟踪训练3 已知向量a＝(x，3y)，b＝(1,0)且(a＋3b)⊥(a－3b)． (1)求点Q(x，y)的轨迹C的方程；

(2)设曲线C与直线y＝kx＋m相交于不同的两点M、N，又点A(0，－1)，当|AM|＝|AN|时，求实数m的取值范围

题型四 与圆锥曲线有关的轨迹问题

规律与方法：

轨迹是动点按一定规律运动而形成的，轨迹的条件可以用动点坐标表示出来．求轨迹方程的基本方法是

(1)直接法求轨迹方程：建立适当的直角坐标系，根据条件列出方程； (2)待定系数法求轨迹方程：根据曲线的标准方程； (3)定义法求轨迹方程：动点的轨迹满足圆锥曲线的定义；

(4)代入法求轨迹方程：动点M(x，y)取决于已知曲线C上的点(x0，y0)的坐标变化，根据两者关系，得到x，y，x0，y0的关系式，用x，y表示x0，y0，代入曲线C的方程． 例4 如图，已知线段AB＝4，动圆O1与线段AB切于点C，且AC－BC＝22，过点A、B分别作圆O1切线，两切线交于点P，且P、O1均在AB的同侧，求动点P的轨迹方程．

高考数学中的圆锥曲线问题 请专家回答 谢谢啦 看分答题 认真对待哦 圆锥曲线究竟是 设

你好，很高兴为你解答这个问题。

高考当中一般圆锥曲线大题，作为倒数第二道或者倒数第一道压轴大题。

我们以新课标全国卷为例。

圆锥曲线大题出在第20题。

具体题目，第一问往往是基础知识的考察，即离心率，标准方程，不同圆锥曲线中a，b，c，的简单识别计算。难度较小。

第二问，我们一般叫做圆锥曲线和直线的位置关系。这是近些年来的主流考法。用代数的角度，解决几何问题。

圆锥曲线分作，椭圆，抛物线，双曲线，圆。高考当中出现的圆锥曲线，除了选填当中可能出现圆，大题当中，主要是椭圆，偶尔有抛物线，很少出现双曲线，不出现圆。希望可以帮到你

高中圆锥曲线典型题型分为哪几种？请大家帮忙归纳一下

圆锥曲线的综合问题：

1、圆锥曲线的范围问题有两种常用方法：?

（1）寻找合理的不等式，常见有△＞0和弦的中点在曲线内部；?

（2）所求量可表示为另一变量的函数，求函数的值域。?

2、圆锥曲线的最值、定值及过定点等难点问题。

(1)从几何角度来看，直线和圆锥曲线有三种位置关系：相离、相切和相交，相离是直线和圆锥曲线没有公共点，相切是直线和圆锥曲线有唯一公共点，相交是直线与圆锥曲线有两个不同的公共点，并特别注意直线与双曲线、抛物线有唯一公共点时，并不一定是相切，如直线与双曲线的渐近线平行时，与双曲线有唯一公共点，但这时直线与双曲线相交；直线平行（重合）于抛物线的对称轴时，与抛物线有唯一公共点，但这时直线与抛物线相交，故直线与双曲线、抛物线有唯一公共点时可能是相切，也可能是相交，直线与这两种曲线相交，可能有两个交点，也可能有一个交点，从而不要以公共点的个数来判断直线与曲线的位置关系，但由位置关系可以确定公共点的个数．

(2)从代数角度来看，可以根据直线方程和圆锥曲线方程组成的方程组解的个数确定位置关系．设直线l的方程与圆锥曲线方程联立得到ax2+bx+c=0．

①若a=0，当圆锥曲线是双曲线时，直线l与双曲线的渐近线平行或重合；当圆锥曲线是抛物线时，直线l与抛物线的对称轴平行或重合．

②若

当Δ>0时，直线和圆锥曲线相交于不同两点，相交．

当Δ=0时，直线和圆锥曲线相切于一点，相切．

当Δ<0时，直线和圆锥曲线没有公共点，相离．

直线与圆锥曲线相交的弦长公式：

若直线l与圆锥曲线F(x，y)=0相交于A，B两点，求弦AB的长可用下列两种方法：

(1)求交点法：把直线的方程与圆锥曲线的方程联立，解得点A，B的坐标，然后用两点间距离公式，便得到弦AB的长，一般来说，这种方法较为麻烦．

(2)韦达定理法：

(1)从几何角度来看，直线和圆锥曲线有三种位置关系：相离、相切和相交，相离是直线和圆锥曲线没有公共点，相切是直线和圆锥曲线有唯一公共点，相交是直线与圆锥曲线有两个不同的公共点，并特别注意直线与双曲线、抛物线有唯一公共点时，并不一定是相切，如直线与双曲线的渐近线平行时，与双曲线有唯一公共点，但这时直线与双曲线相交；直线平行（重合）于抛物线的对称轴时，与抛物线有唯一公共点，但这时直线与抛物线相交，故直线与双曲线、抛物线有唯一公共点时可能是相切，也可能是相交，直线与这两种曲线相交，可能有两个交点，也可能有一个交点，从而不要以公共点的个数来判断直线与曲线的位置关系，但由位置关系可以确定公共点的个数．

(2)从代数角度来看，可以根据直线方程和圆锥曲线方程组成的方程组解的个数确定位置关系．设直线l的方程与圆锥曲线方程联立得到ax2+bx+c=0．

①若a=0，当圆锥曲线是双曲线时，直线l与双曲线的渐近线平行或重合；当圆锥曲线是抛物线时，直线l与抛物线的对称轴平行或重合．

②若

当Δ>0时，直线和圆锥曲线相交于不同两点，相交．

当Δ=0时，直线和圆锥曲线相切于一点，相切．

当Δ<0时，直线和圆锥曲线没有公共点，相离．

直线与圆锥曲线相交的弦长公式：

若直线l与圆锥曲线F(x，y)=0相交于A，B两点，求弦AB的长可用下列两种方法：

(1)求交点法：把直线的方程与圆锥曲线的方程联立，解得点A，B的坐标，然后用两点间距离公式，便得到弦AB的长，一般来说，这种方法较为麻烦．

(2)韦达定理法：

不求交点坐标，可用韦达定理求解．若直线l的方程用y=kx+m或x=n表示．

求关于圆锥曲线的高考题

注:1.解决直线和圆锥曲线的位置关系问题，一般方法是联立方程组，消元得一元二次方程，必须讨论二次项系数和判别式△，利用韦达定理寻找两根之和与两根之积之间的关系．求解有时借助图形的几何性质更为简洁．此题设直线方程为x=ky+2p；因为直线过x轴上是点Q(2p，0)，通常可以这样设，可避免对直线的斜率是否存在讨论．2．凡涉及弦的中点及中点弦问题，利用平方差法；涉及垂直关系往往也是利用韦达定理，设而不求简化运算．3．在引入点参数(本题中以AB弦的两个端点的坐标作为主参数)时，应尽量减少参数的个数，以便减少运算量．由OA⊥OB得x1x2+y1y2=O这个关系对于解决此类问题十分有用．4．列出目标函数，|OH|=P，运用函数思想解决解析几何中的最值问题是解决此类问题的基本思路，也可利用基本不等式a2+b2≥2ab当且仅当a=b时“=”成立求解．

1．本单元内容在课本及高考中的地位

求圆锥曲线的方程（含求轨迹），既是解析几何的重要基本知识，同时又是高考每年必考的重点内容。其主要内容是椭圆、双曲线、抛物线方程的求法，这一类问题的解决往往要涉及到函数、不等式、方程、三角、直线等有关知识和数形结合思想、函数与方程思想、转换思想的综合应用，因此在高考中常常以圆锥曲线为载体来全面考查学生的综合能力。

2．求圆锥曲线方程的常用方法

定义法、待定系数法、直接法、代入法、参数法、几何法等。关键是形数结合，建立等量关系。

3．对本单元的学习和考试要求

能根据所给条件，选择适当坐标系求出曲线方程，并画出方程所表示的曲线。

4．求曲线方程的一般步骤及要点是

建系、列式、化简、证明。

第一步骤“建系（建立坐标系）”在实际问题中有两种情况：（1）所研究的问题中已经有坐标系，此时在给定的坐标系中求出方程即可；（2）条件中无坐标系，这时必须首先选取适当坐标系，通常总是选取特殊位置的点为原点，相互垂直的直线为坐标轴等。

第二步是最重要的一环，须仔细分析曲线的特征，注意揭示隐含条件，抓住曲线上任意点有关的等量关系、所满足的几何条件，列出方程。在将几何条件转化为代数方程的过程中，要注意圆锥曲线定义和初中平面几何知识的应用，还会常用到一些基本公式，如两点间的距离公式、点到直线的距离公式、直线斜率公式等。

第三步，在化简过程中，要注意运算和变形的合理性与准确性，避免“失解”和“增解”。

对于第四步，中学阶段不作要求（从理论上讲则是必要的），多数情况下不会有什么问题，但若遇特殊情况则应该适当予以说明。例如，根据题意，某些点虽然其坐标满足方程，但却不在所求曲线上，那么可通过限制x、y的取值范围把它删除掉。

5．例题解析

例1 求经过定点A（2，0），且与定直线x=-2相切的动圆圆心P的轨迹方程。

解如图易知，动点到定点的距离与到定直线的距离相等，根据圆锥曲线的定义可知，动点轨迹是抛物线y2=2px,其中，p＝4，所以，所求P点轨迹方程是y2=8x。

例2 （1992年全国高考题）焦点为F1（－2，0）和F2（6，0），离心率为2的双曲线的方程是______________

解 由两焦点知双曲线的中心为（2，0），c=4,c/a=2,a=2,b2=12，

∴所求曲线方程是。

例3 （1993年全国理科题）动圆与定圆x2+y2=1和x2+y2-8x+12=0都相外切，则动圆圆心的轨迹方程是（ ）

A．抛物线 B．圆 C．双曲线的一支 D．椭圆

解 由条件设O：x2+y2=1，r1=1；M：(x-2)2+y2=4，r2=2，M（2，0），设动圆圆心为P（x,y），半径为r,则有, ,

∴,

根据双曲线的定义，动圆圆心轨迹是双曲线的一支。故选C。

例4 在双曲线的上支有不同三点A(x1,y1),C(x2,y2),B(,6)到焦点F（0，5）的距离成等差数列，求y1+y2的值。

解 ∵，∴双曲线的准线为m:y=5/12,

作AA1⊥m于A1则, ∴,

同理：,

∵,

∴ 2,

∴y1+y2=12。

说明 1〕以上四例都是根据圆锥曲线的定义求解，这是求圆锥曲线方程最重要的解法之一，其中例3和例4分别使用了第一和第二定义，实际上，凡题目中出现“焦半径（焦点与曲线上点的连线）”，就应考虑使用圆锥曲线的定义，若还有“准线”出现，则就一定会用到第二定义。

2〕动圆与定圆相切的问题，要连接两圆心（平面几何常用辅助线），寻找圆心距间的关系，其轨迹往往是抛物线、椭圆或双曲线中的一种，在这一点上例3比较有代表性。

例5 与双曲线有相同渐近线，且经过点A（2，－3）的双曲线的方程是______________.

解 设所求双曲线方程是,

∵点A在双曲线上，∴

∴双曲线方程是：

说明 本题考查待定系数法、共渐近线系的双曲线方程的应用。

例6 （1997年全国高考题）椭圆C与椭圆关于直线x+y=0对称，椭圆C的方程是（ ）

A． B．

C． D．

分析 设所求椭圆C上任一点M(x,y)，易知M关于直线x+y=0的对称点在已知椭圆上，可得椭圆C的方程。

解 设椭圆C上任一点M(x,y)，利用M关于直线x+y=0的对称点为M’(-x,-y),由题意可知，M’是已知椭圆上的点。

∴所求方程为 即 ，

故选A。

例7 (1990年广东题)一个动点在圆x2+y2=1上移动时,它与定点(3,0)连线中点的轨迹方程是( ).

A.( x+3)2+y2=4 B. (x-3)2+y2=1 C. (2x-3)2+4y2=1 D. (x+3/2)2+y2=1/2

解 如图，设M为圆上任意一点，

定点为A (3,0),连AM，设AM中点为N,OA中点为C(3/2,0)，

则CN=1/2，于是N到C的距离为定长1/2，

其轨迹方程为(x-3/2)2+y2=1/4,即(2x-3)2+4y2=1，

因此选C。

说明 例8例9解法为几何法，即当题目中出现圆、平行四边形等等平面图形时，应充分利用它们的几何性质，寻找所求动点满足的几何条件去建立等量关系，在此题中此法比使用其他方法简便。

例8 已知定点A（3，0），P是单位圆x2+y2=上的动点，∠AOP的平分线交PA于M，求M点的轨迹方程。

解 如图，设M、P的坐标分别是(x,y)及(x。，y。)

由三角形角平分线的性质得。

,即

∴

x= xo=,

y= yo=

∵xo2+yo2=1, ∴M点的轨迹方程是()2+()2=1,

即M ：(x-+y2=.

说明 本题解法为代入法，即利用所求轨迹上的动点坐标x和y表示出已知曲线上的动点坐标xo和yo，再代入已知曲线方程就可得到所求轨迹的方程，这也是求圆锥曲线方程使用率很高的方法。

例9 方程ax2+bx+c=0(a.b.c∈R,a≠0)的判别式的值等于1，两根之积为常数k(k≠0)，求点（b，c）所表示的曲线方程。

解 根据题意有

b2-4ac=1,

消去a得，b2-4 即b2-。

∴点（b,c）所在曲的线方程是x2-。

说明 本题解法为参数法。

例10（1993年高考题）在面积为1的⊿PMN中，tg∠PMN＝1/2，tg∠MNP=－2。建立适当的坐标系，求出以M、N为焦点，且过点P的椭圆方程。

解 如图，以MN所在直线为x轴，MN的垂直平分线为y轴建立坐标系，

设以M、N为焦点，且过点P的椭圆方程为,焦点为M（－c,0）、N(c,0)。

由tg∠PMN=1/2, tg=(∠PMN)=2得直线PM和PN的方程分别为y=(x+c)和y=2(x-c),

联立两方程解得x=,y=,即P点坐标为（,），

故S⊿PMN＝

由条件SΔPMN＝1得c=,即P点坐标为（），

代入椭圆方程得,化简得3b4-8b2-3=0,

解得b=,a2=b2+c2=3+=.

所以，所求方程为.

例11 （1998年全国高考题）如图，直线l1和l2相交于点M，电Nl1，以A、B为端点的曲线段C上任意一点到l2的距离与到点N的距离相等，若⊿AMN为锐角三角形，＝，＝3，且＝6，建立适当坐标系，求曲线段C的方程。

解 如图，以l1为x轴，MN的垂直平分线为y轴建立坐标系，根据题意，曲线段C是以N为焦点，l2为准线的抛物线的一段。

设曲线C的方程为y2=2px (p>0),(xAXxB,y>0), 其中xA, xB分别为A、B的横坐标，p=。

∴M(-p/2,0)，N(p/2,0)。

由＝，＝3得

（xA＋p/2）2+2p xA=17┄①,

（xA-p/2）2+2p xA =9 ┄② .

联立①②解得xA＝p/4, 代入①式并由p>0解得p=4, xA=1;或p=2，xA=2。

∵⊿AMN是锐角三角形，∴p/2> xA，故舍去p=2，xA=2。

由点P在曲线段C上，得xB=－P/2＝4。

综上得曲线段C的方程为 y2=8x(1≤x≤4, y>0).

说明 以上两例主要考查根据所给条件选择适当坐标系，（利用待定系数法）求曲线方程的解析几何的基本思想，考查椭圆与抛物线的概念和性质、曲线与方程的关系以及综合应用知识的能力。

6．小结

求圆锥曲线的方程（含轨迹）是解析几何的基本内容，必须把握好各种方法在什么情况下使用，适当选择解法、适当选择坐标系、合理充分地利用数形条件建立等式关系是解决此类问题的基本功。解题的主要规律可以概括为：“曲线定义要记清,数形关系须探明,一定选好坐标系，方法合理过程畅。选参、引参用好参，代入消元巧转换，待定系数为常法，列出等式是关键，理清关系思路开，一点破译全局活。”